Paradoja de la relatividad especial y equivalencia gravitación/aceleración

Question

Una de las características de la complementariedad de los agujeros negros es la siguiente :

Según un observador externo, la dilatación infinita del tiempo en el propio horizonte hace que parezca que se tarda una cantidad infinita de tiempo en alcanzar el horizonte, mientras que el observador en caída libre alcanza el horizonte en una cantidad finita de tiempo.

Pero, como no podemos diferenciar entre aceleración y gravitación, puede ser equivalente a la siguiente "paradoja" de la Relatividad Especial.

Le sea el plano $z = 0$ ser una especie de "horizonte".

Sea un observador $O_1$ que se encuentra en $z = 1 \space m$ (1 metro), a $t = 0$ y que se desplaza hacia la izquierda (hacia la disminución de $z$ ), con una velocidad constante $(-1) \space m/s$ .

Sea un segundo observador $O_2$ que tiene la posición $z = 1$ m (1 metro), a $t = 0$ pero que se desplaza hacia la derecha (hacia el aumento de $z$ ), y que se acelera, en un sentido preciso (véase más adelante).

Divide la distancia inicial del observador $O_1$ al "horizonte" $z=0$ en una serie de intervalos de distancia $L_n$ con $L_n = 1/2^n \space m$ ( $$1/2, 1/4, 1/8,....,..., 1/2^n,...$$

La distancia inicial (1 metro) entre el observador $O_1$ y el horizonte es : $$ 1 = \sum^{\infty}_{n=1} L_n$$

Para cada intervalo de distancia $L_n$ el tiempo transcurrido correspondiente (desde el observador $O_1$ punto de vista) necesario para el observador $O_1$ para llegar al final del intervalo $L_n$ es $\tau_n = 1/2^n s \space (second)$ porque su velocidad es $-1 \space m/s$ .

El tiempo total (desde el observador $O_1$ punto de vista), necesario para que el observador $O_1$ para alcanzar el horizonte $z = 0$ es entonces : $$\tau = \sum^{\infty}_{n=1} \tau_n = \sum^{\infty}_{n=1} 1/2^n = 1 s$$

Ahora, para cada intervalo $L_n$ podemos ajustar la velocidad del observador que acelera $O_2$ tal que, debido a la dilatación temporal, el tiempo transcurrido necesario para que el observador $O_1$ viajar durante el intervalo $L_n$ desde el punto de vista del observador $O_2$ :

$$T_n = a_n \tau_n$$ donde $a_n$ es un coeficiente > 1

Desde el punto de vista del observador $O_2$ el tiempo necesario para que el observador $O_1$ para alcanzar el horizonte $z = 0$ es entonces : $$ T = \sum^{\infty}_{n=1} T_n = \sum^{\infty}_{n=1} a_n \tau_n = \sum^{\infty}_{n=1} a_n/2^n$$

Eligiendo, por ejemplo, $a_n = 2^{n+\epsilon}$ donde $\epsilon >0$ es fácil ver que, desde el observador $O_2$ punto de vista, el observador $O_1$ necesita una cantidad infinita de tiempo para alcanzar el horizonte $z=0$ mientras que desde el $O_1$ punto de vista, ¡alcanza el horizonte en un segundo!

¿Está de acuerdo?

Answer 1

Usted pregunta cómo se ven las cosas "desde $O_2$ punto de vista". No está claro qué significa esto. ¿Está preguntando cómo se ven las cosas desde $O_2$ (y cómo cambia con el tiempo)? ¿O cómo se ven las cosas desde algún sistema de coordenadas no inercial en el que $O_2$ ¿la curva del mundo es el "eje" espacial? En este último caso, hay más de un sistema de coordenadas, por lo que la pregunta no está bien formulada. Por tanto, supondré que se refiere al primero.

En esa interpretación, por supuesto nunca hay ningún acontecimiento que $O_2$ dice que se encuentra infinitamente lejos en el futuro, porque, en cualquier marco inercial, cada punto está etiquetado con coordenadas finitas.

Pero es posible para $O_2$ creer permanentemente que $O_1$ aún no ha llegado al horizonte. Incluso es posible que $O_2$ revisar continuamente al alza su cálculo de cuánto tiempo tardará el $O_1$ para llegar hasta allí.

Más explícitamente:

Sea $O_1$ golpeó el horizonte en el evento $E=(t=1,x=0)$ (en su propio marco). (Estoy poniendo $v=1$ por lo que su viaje comenzó en algún lugar $x<1$ .)

Supongamos que $O_2$ sigue la trayectoria $x=\sqrt{1+t^2}$ (expresado en $O_1$ ). Sea $F=(t_0,x_0=\sqrt{1+t_0^2})$ sea cualquier punto de esta trayectoria, de modo que $O_2$ (en relación con $O_1$ ) es $v=t_0/\sqrt{1+t_0^2}$ . (Tenga en cuenta que esto es menos que $1$ por lo que nuestra trayectoria postulada es factible).

En $O_1$ el vector $E-F$ tiene coordenadas $(1-t_0,-x_0)$ . Transformando esto en $O_2$ 's instantaneous frame at $F$ el mismo vector tiene coordenada temporal $$t_0'={1-t_0+x_0v\over\sqrt{1-v^2}}=\sqrt{1+t_0^2}>0$$

Por lo tanto, en cada punto de su viaje, $O_2$ dice que el evento $E$ se encuentra en el futuro. En otras palabras, siempre dice que $O_1$ aún no ha llegado al horizonte.

Además, como la expresión $\sqrt{1+t_0^2}$ está aumentando en $t_0$ , $O_2$ siempre está revisando al alza su cálculo de cuánto tiempo va a tardar $O_1$ para llegar a su destino.

Answer 2

Bien, una heurística de solución sería la que es realmente imposible para cualquier persona para cruzar el horizonte de sucesos. Como te has dado cuenta, agujero negro de Schwarzschild es dual (al menos a nivel local, que es, si no hacer la vuelta completa) para Rindler del observador (el uniformemente acelerado).

El stationnary observador en el caso de Schwarzschild es uniformemente acelerados uno de Rindler. La caída libre observador de Schwarzschild agujero negro es, por tanto, la inercia de uno en Rindler del caso, esto es, el que no se mueve a 0.

Ahora, desde el punto de vista de la uniformemente acelerado observador, existe un evento de horizonte que cortar la mitad del espacio de minkowski. Claramente, la aceleración del observador no ver a nadie cruza. Obviamente, desde el punto de vista de un observador inercial, no hay tal horizonte (el horizonte es "ficticia"), y no tendría ningún problema en cruzar esta línea ficticia en una cantidad finita de tiempo.

El punto es que para el horizonte de eventos para mantener a los ya existentes (en el mismo lugar y hora) para la aceleración del observador, éste tiene que seguir acelerando hasta el infinito a una tasa constante! Esto es imposible, esto significa que es posible llevar una cantidad infinita de energía con usted. Existe por lo tanto un tiempo de $t_c$ en el acelerado marco tal que, después de este tiempo, se vuelve imposible acelerar a una tasa uniforme anylonger. Claramente, acelerando menos se "mueve" el horizonte de sucesos, y inercial simplemente eliminarlo completamente. El horizonte de sucesos se mueve más y más de el observador inercial o se desvanece, de tal manera que nadie cruzara.

Ahora, lo que desempeña el papel de este en la Relatividad General? Bueno, me sería de esperar (y desear) que la radiación de Hawking demuestra que esto es exactamente lo que sucede: cualquier agujero negro es que se evapora "demasiado rápido" para que nadie se de cruzar el horizonte, o bien desaparece totalmente. Esto resuelve todas las paradojas.

Answer 3

Cualquier objeto o masa que emita luz que entre en el horizonte no se verá pasar por él, igual que no se ve pasar el sol por el horizonte. Por lo tanto, el observador sólo verá el objeto alcanzar el horizonte y nunca caer en el centro del agujero negro. Sin embargo, el viajero podrá ver al observador más allá del horizonte. El objeto que se acerque o pase el horizonte experimentará una dilatación del tiempo inversamente proporcional a la cantidad de energía ganada con respecto a su masa en reposo (conservación de la energía y el momento). Se puede deducir además que, dado que un objeto de masa acelera hacia la velocidad de la luz c en un agujero negro o en torno a él, el propio desplazamiento de un objeto parecería como si hubiera ocurrido instantáneamente, suponiendo que llegara al lado opuesto del agujero negro o dondequiera que esté su destino, ileso y entero. Hay que tener en cuenta que se ha observado que los agujeros negros ingieren masa y expulsan energía. Es muy probable que la masa consumida por un todo negro se transforme en energía a una velocidad de c² y quizá viceversa.

Answer 4

Si se nos permite resolver el problema de la aceleración de los cuerpos en Relatividad Especial - que postula la relatividad del movimiento - entonces siempre podemos revertir la situación, y suponer que es $O_1$ y $z=0$ acelerando con respecto a $O_2$ .

En tal caso, y como siempre hay constantes $v'$ (He utilizado la variable primed para denotar movimiento) entre $O_1$ y $z=0$ entonces, independientemente de lo grande que sea la aceleración $a$ es, el $O_1$ cruzará $z=0$ después del tiempo $t'=1s$ . Esto tendrá lugar a distancia $x'$ entre $O_1$ y $O_2$ que podemos calcular basándonos en la aceleración $a$ . En última instancia, obtendremos la dilatación, aunque finita (ya que $t'$ es finito), $t$ para este momento desde la perspectiva de $O_2$ .

A continuación, podemos volver a nuestra estacionaria $O_2$ calculando $x$ (basado en $x'$ ) entre $O_1$ y $O_2$ . Esto nos permitirá calcular el tiempo $t_1$ necesaria para que la luz recorra esta distancia $x$ . Obviamente, será finito, por lo que el tiempo total de $T=t + t_1$ también será finito. Por lo tanto $O_2$ verá $O_1$ llegar a $z=0$ en un tiempo finito $T$ .

Si alguien dice que no podemos hacer eso, entonces simplemente no podemos aplicar SR a esta situación, lo que significa que no tenemos paradoja SR aquí.

EDITAR : En la primera frase de mi respuesta escribí: " Si se nos permite resolver el problema de la aceleración de los cuerpos en SR ...". Hay numerosas afirmaciones (no sólo en este foro) que la aceleración puede ser fácil y correctamente manejado por SR, así que decidí mostrar lo que sucede, cuando se hace eso.

Ahora bien, personalmente prefiero ceñirme a El postulado de Einstein lo que significa: "No considerarás los marcos no inerciales en la Relatividad Especial":

"Si, con respecto a K, K' es un sistema de coordenadas en movimiento uniforme desprovisto de rotación, entonces los fenómenos naturales siguen su curso con respecto a K' según exactamente las mismas leyes generales que con respecto a K". Y luego: "Para alcanzar la mayor claridad posible, volvamos a nuestro ejemplo del vagón de ferrocarril que se supone que se desplaza uniformemente. Llamamos a su movimiento traslación uniforme ('uniforme' porque es de velocidad y dirección constantes".

Sin embargo, en la discusión que sigue John Rennie sostiene que la aceleración puede considerarse correctamente en SR, y también que al hacerlo invalidamos el postulado de que no se prefiere ningún marco de referencia. ¿Así que nos deshacemos de dos postulados básicos de la RS (marcos inerciales y marcos no preferidos), y seguimos llamándola RS? Para mí es como poner una vaca con una placa "Vaca", y luego sustituir la vaca por una cabra, pero seguir manteniendo la misma placa. Disculpa mi ejemplo trivial, pero así es como yo lo veo.

John Rennie incluso citó John Baez en su propia respuesta a la pregunta (ahora eliminada). Sin embargo, si se sigue este enlace y se hace clic en el botón "relojes aceleradores" encontrarán esto como explicación: " ... la frecuencia del reloj acelerado es idéntica a la frecuencia del reloj en un "marco inercial en movimiento momentáneo" (MCIF), que podemos imaginar sosteniendo un reloj inercial que durante un breve instante se detiene junto al reloj acelerado, de modo que su velocidad relativa es momentáneamente cero. En ese momento, ambos relojes funcionan al mismo ritmo. Un momento después, el reloj acelerado tiene un nuevo MCIF, que también se mueve momentáneamente para igualar su velocidad, y hay un nuevo reloj inercial que se detiene brevemente junto al reloj acelerado. " Lo que significa, en lenguaje llano, que el el reloj está parado, pero al mismo tiempo hace tic-tac . Ahora, eso no es SR, eso es SF para mí ... (He visto otras dos explicaciones para la aceleración en SR en este foro, y ambas usaban exactamente el mismo truco o uno muy similar).

Einstein, al derivar sus ecuaciones de campo para la RG dijo (página 98) ici : "Para regiones tetradimensionales infinitamente pequeñas es apropiada la teoría de la relatividad en sentido restringido, si se eligen adecuadamente las coordenadas." "Relatividad en sentido restringido" es simplemente Relatividad Especial. Así que él creía que necesitaba bajar a "regiones infinitamente pequeñas" para deshacerse de la aceleración (es decir, la gravedad -que él -a través de su principio de equivalencia- postula que es la misma para probar su teoría de la RG), y que se le permitiera utilizar la RE. Y también dijo en este mismo libro (página 90): " Por la palabra especial se entiende que el principio [de relatividad] se limita al caso en que K' tiene movimiento de traslación uniforme con referencia a K ". ¡Allá vamos! Especial, porque no hay aceleraciones. Si introducimos aceleraciones, ya no nos basamos en la "relatividad en sentido restringido" llamada "especial".

Esto no quiere decir que no se pueda cuestionar lo que Einstein dijo hace 100 años. No es un dios en absoluto, y la ciencia sigue adelante. Tengo mis propias dudas sobre varias de sus afirmaciones. Pero entonces, si uno quiere utilizar su teoría, y sin embargo deshacerse de sus postulados básicos, entonces tiene que demostrar que es un movimiento válido. Y, obviamente, no estoy diciendo que las aceleraciones no puedan ser consideradas por la física. Claro que pueden. Pero para afirmar que se puede hacer basándose en la RS, simplemente hay que demostrarlo. Debo verlo para creerlo.

Lo que realmente demostré en mi respuesta es que si introducimos la aceleración en SR, y sin embargo hacemos lo que la teoría nos permite hacer - es decir, cambiar los marcos de referencia - entonces obtendremos dos resultados diferentes. La interpretación de este hecho parece demasiado obvia.