¿El producto tensorial con un espacio vectorial de dimensiones finitas le da algún tipo de semibase?

Question

Deje que $V$ ser un espacio vectorial (posiblemente de dimensiones infinitas), y $W$ una dimensión finita. Entonces, uno puede definir el producto tensorial $V\otimes W$ como el espacio vectorial libre en $V\times W$ modulo algunas relaciones.

Ahora, si $V$ es de dimensiones finitas, y si $\{e_1,\ldots,e_m\}$ es una base para $V$ y $\{e'_1,\ldots,e'_n\}$ para $W$ tenemos una base $$\{e_i\otimes e'_j:1\le i\le m,q\le j\le n\}$$ para $V\otimes W$ .

En particular, cada elemento $u\in V\otimes W$ puede expresarse como $$u=v_1\otimes e'_1+\cdots+v_n\otimes e'_n$$ para el único $v_1,\ldots,v_n\in V$ .

Pregunta: ¿Esta declaración también es válida cuando $V$ es infinitamente dimensional?

Puedo mostrar fácilmente que los elementos $v_i\in V$ existen, pero no estoy seguro de por qué serían únicos.

Existencia: Un elemento $u\in V\times W$ es la proyección de una suma formal de muchos finos $(v_i,w_i)\in V\times W$ es decir. $u=v_1\otimes w_1+\cdots v_n\otimes w_n$ . Entonces, podemos expresar cada $w_i$ en términos de la base.

Answer 1

El caso de las dimensiones infinitas sigue formalmente al caso de las dimensiones finitas. Específicamente, $V\otimes W$ se define como el cociente de $V\times W$ por ciertos parientes. Así que cuando dos tensores son iguales en $V\otimes W$ es porque la diferencia entre ellos es igual a una cierta combinación lineal finita de las relaciones. Todos los vectores de $V$ y $W$ involucrados en la expresión de los dos tensores y las relaciones finitas forman un conjunto finito. De esto, concluimos lo siguiente: si $u=\sum c_i v_i\otimes w_i=\sum d_j v_j'\otimes w_j'$ es un elemento de $V\otimes W$ que puede expresarse como una suma de tensores elementales de dos maneras diferentes, entonces existen subespacios de dimensiones finitas $V_0\subseteq V$ y $W_0\subseteq W$ de tal manera que la ecuación $\sum c_i v_i\otimes w_i=\sum d_j v_j'\otimes w_j'$ también es válido en el producto tensorial $V_0\otimes W_0$ .

Así que en particular, si tienes una base (posiblemente infinita) $\{e_i'\}$ para $W$ y puedes escribir $u=\sum v_i\otimes e_i'=\sum v_i'\otimes e_i'$ de dos maneras diferentes, entonces hay en realidad un subespacio de dimensiones finitas $W_0$ (que podemos tomar para ser abarcado por finamente muchos de los $e_i'$ ) para la cual la ecuación $\sum v_i\otimes e_i'=\sum v_i'\otimes e_i'$ es válido en $V\otimes W_0$ . Por la versión de dimensiones finitas del resultado, esto implica entonces $v_i=v_i'$ para todos $i$ .

Alternativamente, la mayoría de los métodos que se me ocurren para probar que $\{e_i\otimes e_j'\}$ es linealmente independiente no usan en realidad la finitud en ninguna parte, por lo que funcionan igual de bien si $V$ y/o $W$ es infinitamente dimensional.