Teorema Del Límite Central Definición

Question

Mi amigo y yo tenemos una apuesta va sobre la definición del Teorema del Límite Central.

Si definimos un ejemplo de un número extraído al azar de alguna función de densidad de probabilidad donde la función tiene un definido finito media y la varianza. Y definimos un ejemplo de como un conjunto de tamaño N ejemplos (con N>1).

Entonces, tomamos S muestras y crear una distribución de muestreo D sobre los medios de cada individuo de la muestra.

Yo estoy argumentando que el Teorema del Límite Central establece que a medida que el número de muestras S enfoques infinito, entonces la distribución de muestreo D aproximarse a una distribución normal.

Mi amigo está argumentando que el Teorema del Límite Central establece que dado cualquier número de muestras S, la distribución de muestreo D no necesariamente aproximarse a una distribución normal, pero a medida que el número de ejemplos por muestra N se acerca a infinito, entonces D aproximarse a una distribución normal.

Quién tiene la razón?

Actualización: he perdido la apuesta.

Answer 1

Tanto en las definiciones son incorrectas a pesar de que su amigo es menos.

El número de muestras no es relevante en absoluto, ya que la distribución de muestreo le da la probabilidad de obtener diferentes valores de una muestra estadística y por lo tanto es un objeto teórico derivado del proceso aleatorio que genera su muestra. Tomar muchas muestras pueden ayudarle a aprender acerca de la distribución de muestreo, pero que no está vinculada por el Teorema del Límite Central ya que la distribución de muestreo existe independientemente de si sabemos o no.

En virtud de la costumbre supuestos (usted debe buscar en un libro de texto) la media de la muestra $\bar X$ tiende a la media de la población es por lo que la distribución de muestreo de la ex reduce a una distribución que pone todo su peso en un punto. La variable que tiene una limitante de la distribución normal, como el tamaño de la muestra $N$ tiende a infinito es $$(\sqrt{N})\bar X.$$

Answer 2

Yo diría que su amigo es el más correcto, en la que él/ella correctamente los puntos de a $N$ (tamaño de la muestra=número de valores que se suman para calcular el promedio,es decir, la "media de la muestra") como la cosa en que debe tender a $\infty$ para el CLT de mantener.

Tenemos

$$S_N=\frac{X_1+X_2+ \cdots +X_N}{N}$$

Aquí, en nuestro entorno, el conjunto de $\{X_1, \ldots X_N\}$ es una muestra, de tamaño $N$; y $S_N$ es la muestra de la media (=promedio) de la muestra.

Esta $S_N$ es una variable aleatoria (de manera informal, que toma diferentes valores aleatorios para cada muestra). Lo que la CLT dice es acerca de la distribución de esta $S_N$$N\to \infty$. Por supuesto, si eran prácticamente interesado en la comprobación/experimentando $S_N$ (para algunos fijos $N$) es, de hecho, aproximadamente gaussiana, usted podría querer dibujar muchos de los valores de $S_N$ y, por ejemplo, dibujar un histograma; para esto, usted necesita para dibujar un montón de muestras (cada uno del tamaño de $N$). Pero esto no tiene nada que ver con la asymptotics del teorema.

Answer 3

Ninguno de los dos, pero son mucho menos malo de lo que él es.

Wikipeadia unidos, lo que la CT es razonablemente claramente en sus 2 primeros párrafos. Por favor, tenga en cuenta que hay varias variantes, pero el muestreo de la misma (inmutable) de la población cumple con los requisitos para el Clásico CLT - específicamente que cada una de las muestras es independiente e idénticamente distribuidas.

Usted tiene sólo parcialmente capturado los criterios para que sea verdadera, específicamente no es suficiente para la media y la varianza para ser "definido" - $\sigma=\infty$ está definido, pero que representa una ley de potencia de distribución y la distribución de las muestras se aproach un $\alpha$-distribución estable, no una distribución normal. Aparte de que son bang sobre el dinero.

Tu amigo es incorrecto, su postulado es manifiestamente incorrecta por considerando la posibilidad de establecer el tamaño de la muestra igual a la población. En este caso cada una de las muestras tendrá la distribución de la población, pero la distribución de muestreo se convertirá en más y más normal, ya que hay más y más muestras. Prueba el experimento con el Estándar de la Distribución Uniforme o para un impacto más dramático, este:

$$f(x)=\begin{cases} x^2 &-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\\ 0 &\text{otherwise} \end{casos}$$