A $C^{\infty}$ función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$

Question

¿alguien podría ayudarme a mostrar $C^{\infty}$ función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ no puede ser inyectiva?

Answer 1

$\mathbb{R}^2\setminus\{x\}$ está conectado para cualquier $x\in\mathbb{R}^2$ .

Sólo se requiere continuidad para el argumento.

Answer 2

Si eliminamos tres puntos del dominio, éste quedará conectado. En $\mathbb{R}$ los conjuntos conexos son intervalos, por lo que si eliminamos tres puntos de un intervalo, éste quedará desconectado. Así que no puede existir una función continua inyectiva desde $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ .

Answer 3

Si f es constante, entonces $f$ es trivialmente no inyectiva.

Dejemos que $f$ sea una no-constante. $C = \{\text{ critical points }\}$ = $\{p: df(p) \text {is singular }\}$ Sabemos que al Teorema de Sard $f(C)$ es de medida $0$ . Por lo tanto existe un punto regular $p$ . Su imagen inversa está vacía o consiste en algunos puntos regulares.

Supongamos que para todos los regulares $p$ , $f^{-1}(p)$ estaban vacíos, entonces $f(C)$ tiene sólo valores críticos. La continuidad significa que $f(C)$ que tiene medida $0$ , también debe ser un subconjunto conectado de $\mathbb{R}$ . Los únicos conjuntos conectados son intervalos. Así que $f(C)$ debe ser un punto, es decir, $f$ es una constante, a contradicción. Por lo tanto, hay algún valor regular $p$ con una zona no vacía preimagen, que tiene que ser un $1$ -que no puede ser un punto. Por tanto, f no es inyectiva.

Answer 4

Supongamos que $f:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R$ es inyectiva y continua.
Entonces $f$ induce una función $\tilde f:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R\hookrightarrow\mathbb R^2$ que es inyectiva y continua dada por $\tilde f(x)=(f(x),0)$ .
Por el invarianza de dominio , $\tilde f(\mathbb R^2)$ es un conjunto abierto no vacío de $\mathbb R^2$ . Pero $\tilde f(\mathbb R^2)\subset\mathbb R\times\{0\}$ . Contradicción.