La forma lineal de mapa de transformación de la unidad de la bola?

Question

Deje $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R^n}$ ser una aplicación lineal, suponemos que a $f$ es simétrica ($\langle f(x),y\rangle=\langle x, f(y)\rangle$), sin utilizar el teorema espectral cómo podemos ver que $f$ mapas de la unidad de la bola en un elipsoide ?

O ¿cómo podemos demostrar el teorema espectral geométricamente (intrínsecamente) ?

Puede ampliar este razonamiento para ver por qué no en cualquier plaza de la matriz es diagonalizable ?

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Brak}[1]{\left\langle #1\right\rangle}$Una invertible lineal operador $f$ $\Reals^{n}$ mapas de la unidad de la pelota a un elipsoide de si o no $f$ es simétrica (o incluso diagonalizable): Una estrategia es escribir la unidad de pelota como el locus de una desigualdad cuadrática y realizar un cambio lineal de variables, concluyendo que la imagen es compacto y definido por una desigualdad cuadrática, por lo tanto, un elipsoide (para algún valor de "ahí").

En otras palabras, conocer la imagen de la unidad de bola es un elipsoide no implica el teorema espectral, por lo que si entiendo lo que estás preguntando, la respuesta a la tercera pregunta es "no".

Como para demostrar el teorema espectral geométricamente, un enfoque es maximizar la función cuadrática $$ F(x) = \Brak{x, f(x)} $$ restringido a la unidad de la esfera, es decir, sujeto a la restricción $g(x) = \|x\|^{2} = 1$. Por Heine-Borel y el teorema del valor extremo, $F$ tiene un máximo absoluto, $x_{0}$; multiplicadores de Lagrange y la simetría de la $f$ muestran que $$ 2f(x_{0}) = \nabla F(x_{0}) = \lambda \nabla g(x_{0}) = 2\lambda x_{0}; $$ es decir, $x_{0}$ es un autovector de a $f$, con un autovalor igual al máximo valor de $F$. Ahora inducción, la restricción de todo para el complemento ortogonal de $x_{0}$, y de forma iterativa la construcción (para algún valor de "construir") un ortonormales $f$-eigenbasis de $\Reals^{n}$.