Dado un espacio métrico finito, ¿son invertibles las matrices de errores de desigualdades triangulares?

Question

He estado trabajando en algunos problemas relacionados con los espacios métricos finitos y ya he demostrado/respondido positivamente la siguiente afirmación/pregunta si la métrica subyacente tiene propiedades adicionales. Ahora me pregunto si la afirmación es verdadera en general.

Supongamos que tenemos un espacio métrico finito $(X,d)$ y arreglamos $y \in X$ . Consideremos ahora la matriz $$M(y) := ( d (x, y) + d (y, z) - d (x, z))_{x, z \in X\setminus \{y\}}$$ de todos los posibles errores que surgen en la desigualdad del triángulo donde se fija el "punto medio".

Es $M(y)$ ¿Invertible?

Cualquier idea es muy apreciada.

Answer 1

He aquí un contraejemplo. Dejemos que $X=\{1,2,3,4\}$ con la métrica dada por la siguiente matriz D de distancias, es decir, la $(i,j)$ -la quinta entrada es $d(i,j)$ : $$D=\begin{bmatrix}0&1&2&1\\1&0&1&2\\2&1&0&1\\1&2&1&0\end{bmatrix}$$

En otras palabras, se trata de una métrica gráfica sobre el $4$ -gráfico de ciclos, cuyos vértices son $1,2,3,4$ respectivamente. (También podemos comprobar que se trata de una métrica por definición, en cuyo caso la desigualdad del triángulo se deduce fácilmente del hecho de que $2\leq 1+1$ .)

Entonces, tenemos $$M(1)=\begin{bmatrix}2&2&0\\2&4&2\\0&2&2\end{bmatrix},$$ que es singular, ya que la fila del medio es la suma de las otras dos.

Answer 2

Editar: Esta respuesta no es correcta (ver mi comentario justo después de esta respuesta). Dejaré aquí mi respuesta incorrecta por si es de interés.

Original :

Bajo la métrica discreta, donde $d(x, y) = 1$ siempre que $x \neq y$ los errores $d(x, y) + d(y, z) - d(x, z)$ son todos exactamente $1$ . Así, para cualquier $y$ la matriz $M(y)$ tendrá todas las entradas iguales a $1$ y no será invertible (suponiendo que el espacio tenga al menos tres puntos para que $M(y)$ tiene un tamaño de al menos $2 \times 2$ ).

http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_space