una pregunta sobre la suma de expansión

Question

Q1.

$$\sum\limits_{j=0}^{N-1} \sum\limits_{i=0}^{N-1} \sum\limits_{y=0}^{j} \sum\limits_{x=0}^{i} a(x)a(y)b(|x-y|) $$

Dado que el $b(0) = 0$, Hallar el coeficiente de $b(k)$, $0\le k \le N-1$ en la mencionada ampliación.

Q2. $$\sum\limits_{j=0}^{N-1} \sum\limits_{i=0}^{N-1} \sum\limits_{x=0}^{\min(i,j)} a(x) .$$

Encontrar el coeficiente de $a(x)$ en la anterior expansión?

Answer 1

Vamos a utilizar un enfoque general. Un primer principio para evaluar varias sumas es:

Cuando se trabaja con múltiples sumas, a ver qué pasa cuando se intercambia el orden de las sumatorias.

Re Q2, esto significa que la escritura de la suma de $S$ como una suma de $x$ $a(x)$ veces una suma de $i$$j$.

Lo que nos lleva a un segundo principio general:

Las sumas de un conjunto fijo de números enteros son más fáciles.

Y la herramienta más útil para aplicar este principio:

Escribir las vinculaciones de sumas de dinero como indicador de funciones.

En este contexto, algunas personas usan Iverson soporte de $[\mathfrak A]$ a la media de $1$ si afirmación de $\mathfrak A$ es verdadera y $0$ lo contrario, y voy a utilizar este convenio. Por ejemplo, todavía Re Q2, $$ S=\sum_{j=0}^{N-1}\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{x=0}^{N-1}[x\le \min\{i,j\}]\cdot(x). $$ Pero $[x\le \min\{i,j\}]=[x\le i]\cdot[x\le j]$, por lo tanto cambiando el orden de las sumatorias de los rendimientos $$ S=\sum_{x=0}^{N-1} (x)\sum_{i=0}^{N-1}[x\le i]\sum_{j=0}^{N-1}[x\le j]. $$ La suma de $i$ y la suma de $j$ coinciden y su valor común es $$ \sum_{j=0}^{N-1}[x\le j]=\sum_{j=x}^{N-1}[x\le j]=N-x, $$ por lo tanto $$ S=\sum_{x=0}^{N-1}(N-x)^2a(x). $$ Esto resuelve la Q2.

La solución para el 1er trimestre es un poco más complicada, pero te sugiero que ahora puede ver qué tan lejos puede ir con estos principios para tratar de resolverlo.