Demostrando $\sum_{k=1}^m{k^n}$ es divisible por $\sum_{k=1}^m{k}$ $ n=2013$

Question

Tengo una nueva e interesante pregunta, se trata de la teoría de números y álgebra de precálculo. Aquí está la pregunta:

un entero positivo $n$ se llama válido si $1^n+2^n+3^n+\dots+m^n$ es divisible por $1+2+3+\dots+m$ para cada entero positivo $m$.

1. Demostrar que es válido 2013
2. Demostrar que hay infinitos números enteros positivos que no son válidos

Cada pequeña pista, la contribución y la recomendación sería muy útil. Lo siento por mi mal inglés. Gracias antes.

Answer 1

Si $n$ es impar, entonces el modulo $m+1$ tenemos $2(1^n + 2^n + \ldots + m^n) = (1^n+m^n) + (2^n+(m-1)^n) + \ldots + (m^n+1^n) \\ \equiv (1^n-1^n) + (2^n-2^n) + \ldots + (m^n-m^n) = 0 \pmod {m+1}$.

También, desde $m^n \equiv 0 \pmod m$, $2(1^n + 2^n + \ldots + m^n) \equiv 2(1^n + 2^n + \ldots + (m-1)^n) \equiv 0 \pmod m$

Desde $m$ $m+1$ son coprime, esto demuestra que $2(1^n + \ldots + m^n)$ es un múltiplo de a $m(m+1)$, y desde $m(m+1)$ es incluso, $1^n + \ldots + m^n$ es un múltiplo de a $m(m+1)/2 = 1+2+\ldots+m$.

Si $n$ es incluso, a continuación,$1+2^n \equiv 2 \pmod 3$, que no es un múltiplo de a $1+2 = 3$

Answer 2

Todos los impares $n$ son válidos. De hecho, para todos los impares $n$, $1^n + 2^n + 3^n + \dots + m^n$ en realidad es un polinomio en a $1 + 2 + 3 + \dots + m = m(m+1)/2$. Estos polinomios son conocidos como Faulhaber polinomios (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula#Faulhaber_polynomials). Usted puede encontrar una prueba de este hecho en el AMM el artículo "las Sumas de las Potencias de números Enteros" (modificación de la prueba un poco también muestra la relación de divisibilidad desea, pero también hay maneras más fáciles de hacer esto; ver mercio de la solución).

Para responder a su segunda pregunta, todos los $n$ no son válidos; esto puede ser visto fácilmente por darse cuenta de que $2^n + 1$ no es divisible por $3$ si $n$ es incluso.

Answer 3

Utilizar el teorema del binomio para expandir $\sum k^n$.