Espacio de gérmenes de la función holomorfa

Question

Una pregunta un poco general, pero ahí va. Moralmente, ¿cuál es el espacio de gérmenes de una función holomorfa?

Sé que un germen es simplemente una clase de equivalencia de elementos de función, donde consideramos que dos elementos de función son equivalentes en un punto si coinciden en alguna vecindad abierta de ese punto. Además, conozco la definición de que el espacio de gérmenes es simplemente la unión de estas clases de equivalencia para todas las funciones $f$ y puntos $x$ .

Sin embargo, todo esto es un poco abstracto en este momento. No veo la utilidad de los gérmenes, ni cómo podría calcularlos para una función concreta. ¿Alguien tiene algún ejemplo bonito de cálculos del espacio de los gérmenes? ¿Y podría alguien explicar la idea general que hay detrás de ellos en las superficies de Riemann?

Muchas gracias.

Answer 1

Consideremos el conjunto de todos los gérmenes de funciones holomorfas en un punto concreto $x$ . Si usted sabe de tallos, entonces esto es sólo $\mathcal{O}_x$ . Se puede pensar en este conjunto como una colección de todas las "funciones posibles" que son holomorfas en ese punto.

Para ser precisos, se puede pensar en ella como el conjunto de todas las series de potencias que convergen en una pequeña vecindad de $x$ . Así que $\mathcal{O}_x$ es isomorfo al anillo $\mathbb{C}\{z-x\}$ de todas las series de potencia convergentes en $z-x$ .

Por supuesto, dos funciones definen el mismo germen si sus series de potencias sobre $x$ son los mismos. Esto da un método para calcular los gérmenes de una función $f$ en los puntos $x$ .

Ahora bien, la unión de todos los gérmenes de todas las funciones es útil, por ejemplo, porque permite construir una continuación analítica máxima de una función holomorfa dada:

Para una superficie de Riemann $X$ un punto $x\in X$ y una función germen $f$ en $x$ se obtiene una superficie de Riemann $Y$ junto con un mapa holomórfico no ramificado $Y\rightarrow X$ y una función holomorfa $F$ en todos $Y$ , de manera que el germen de $F$ es de alguna manera natural la misma que la de $f$ .

Ahora el espacio de los gérmenes permite la construcción de un "máximo $Y$ ". Se puede pensar en ello como el mayor dominio posible de definición para $f$ . Dado que puede haber diferentes continuaciones de un representante de $f$ en diferentes barrios, tienes que considerarlos todos y combinarlos para conseguir tu espacio más grande $Y$ .

La construcción y las pruebas reales pueden leerse, por ejemplo, en "Lectures on Riemann Surfaces" de O. Forster.