Consideremos el conjunto de todos los gérmenes de funciones holomorfas en un punto concreto $x$ . Si usted sabe de tallos, entonces esto es sólo $\mathcal{O}_x$ . Se puede pensar en este conjunto como una colección de todas las "funciones posibles" que son holomorfas en ese punto.
Para ser precisos, se puede pensar en ella como el conjunto de todas las series de potencias que convergen en una pequeña vecindad de $x$ . Así que $\mathcal{O}_x$ es isomorfo al anillo $\mathbb{C}\{z-x\}$ de todas las series de potencia convergentes en $z-x$ .
Por supuesto, dos funciones definen el mismo germen si sus series de potencias sobre $x$ son los mismos. Esto da un método para calcular los gérmenes de una función $f$ en los puntos $x$ .
Ahora bien, la unión de todos los gérmenes de todas las funciones es útil, por ejemplo, porque permite construir una continuación analítica máxima de una función holomorfa dada:
Para una superficie de Riemann $X$ un punto $x\in X$ y una función germen $f$ en $x$ se obtiene una superficie de Riemann $Y$ junto con un mapa holomórfico no ramificado $Y\rightarrow X$ y una función holomorfa $F$ en todos $Y$ , de manera que el germen de $F$ es de alguna manera natural la misma que la de $f$ .
Ahora el espacio de los gérmenes permite la construcción de un "máximo $Y$ ". Se puede pensar en ello como el mayor dominio posible de definición para $f$ . Dado que puede haber diferentes continuaciones de un representante de $f$ en diferentes barrios, tienes que considerarlos todos y combinarlos para conseguir tu espacio más grande $Y$ .
La construcción y las pruebas reales pueden leerse, por ejemplo, en "Lectures on Riemann Surfaces" de O. Forster.
