He estado viendo las conferencias sobre física matemática de Carl Bender en youtube donde utiliza los métodos hamiltonianos no hermitianos para probar que el potencial anarmónico invertido $V(x)=-x^4$ tiene un discreto estado límite con energía positiva. ¿Cómo puede ser? Apreciaría algunas referencias.
Respuestas
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David J. Sokol
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Si se tiene una condición límite de reflexión en el infinito ( $ \psi_ { \infty }=0$ ), entonces la partícula cruza la distancia entre este potencial y el infinito durante un tiempo finito (la velocidad infinita para este potencial se alcanza rápidamente en un caso no relativista). Un movimiento periódico de tiempo finito se cuantifica en QM, como en la cuantificación de Bohr-Sommerfeld de un movimiento cuasiperiódico.
En términos más generales, Carl Bender y otros están considerando $PT$ -Hamiltonianos simétricos de la forma
$$ H~=~ p^2 + x^2 (ix)^{ \varepsilon }, \qquad \varepsilon\in\mathbb {R} ,$$
cf. p.ej. Refs. 1-3. El Hamiltoniano $H$ no es auto-unirse en el sentido usual, sino auto-unirse en un $PT$ - sentido simétrico. El caso de OP corresponde a $ \varepsilon =2$ . El truco es continuar analíticamente la función de onda $ \psi $ con la posición real 1D $x \in\mathbb {R}$ en el complejo plano de posición $x \in\mathbb {C}$ y prescribir el comportamiento apropiado de los límites en el complejo plano de posición.
Véanse, por ejemplo, las refs. 1-3 y sus referencias para más detalles y aplicaciones. Obsérvese que las Refs. 1-3 tratan principalmente de la espectro de puntos del operador $H$ .
Referencias:
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C.M. Bender, D.C. Brody y H.F. Jones, ¿Un hamiltoniano debe ser hermitiano? arXiv:hep-th/0303005 .
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C.M. Bender, Introducción a $PT$ -Teoría Cuántica Simétrica, arXiv:quant-ph/0501052 .
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C.M. Bender, D.W. Hook y S.P. Klevansky, Energía negativa $PT$ - los Hamiltonianos simétricos, arXiv:1203.6590 .
