Estoy tomando clases de álgebra homológica ahora, y el libro (junto con el profesor) se parecen a asumir más categoría de la teoría de lo que ya sabemos.
Un "hecho" que se utiliza libremente en el libro ("álgebra Homológica" por Weibel, por cierto), es que cada grupo abelian es (isomorfo a) la directa límite de su finitely generado subgrupos.
Sin embargo, no me parece que esto es especialmente evidente. ¿Cómo se hace para probar estas cosas?
El hecho de que un grupo es el límite de su finitely generado subgrupos es cierto para cualquier grupo, no sólo abelian.
Recordar que en la directa límite de grupos. Usted comienza con un conjunto dirigido $I$ (dirigida significa que es un conjunto parcialmente ordenado, y si $i,j\in I$, entonces no existe $k\in I$ tal que $i\leq k$$j\leq k$). Para cada una de las $i\in I$, tiene un grupo de $H_i$, y si $i\leq k$, entonces usted tiene una morfismos $f_{ik}\colon H_i\to H_k$. El sistema de $\{H_i, f_{ij}\}_{i\in I}$ también debe satisfacer:
La directa límite de entonces se construye de la manera siguiente: nos vamos a $X$ ser distinto de la unión de los conjuntos de $H_i\times\{i\}$, y se define la relación de equivalencia $\sim$ $X$ como sigue: dado $(h,i)$$(h',j)$, dejamos $(h,i)\sim (h',j)$ si y sólo si existe $k\in I$ tal que $i\leq k$, $j\leq k$, y $f_{ik}(h) = f_{jk}(h')$.
A continuación definimos un grupo de operación $X/\sim$ como sigue: dado $[(h,i)]$$[(h',j)]$$X$, vamos a $k\in I$ tal que $i\leq k$$j\leq k$. Definimos $$[(h,i)][(h',j)] = [(f_{ik}(h)f_{jk}(h'),k)].$$ Tenga en cuenta que esto tiene sentido, ya que $f_{ik}(h)$ $f_{jk}(h)$ están en $H_k$. Es entonces un ejercicio para demostrar que este le da a un grupo con el adecuado universal de los bienes.
La intuición. La idea es simplemente que dos elementos en $X$ son "iguales" si y sólo si "eventualmente" se asignan a la misma cosa. Y definimos el producto por primera asignación ambos elementos lo suficientemente "por delante" de que ambos se encuentran en el mismo grupo, y luego multiplicar. El directo de límite es entonces una forma de "pegar" todos los de $H_i$, de manera compatible.
La razón por la que esperamos que la directa límite de la finitely generado subgrupos de "ser" el grupo (que es isomorfo al grupo) es que cualquier operación que queremos hacer con los elementos del grupo siempre se produce en un finitely generado subgrupo: si se realiza una operación en el interior del grupo, la operación se utiliza sólo un número finito de elementos, por lo que todo ocurre dentro de un finitely generado grupo. Por lo tanto, todo lo que "determina" lo que el grupo es capturado si usted mira todos los finitely generado subgrupos: para saber cómo multiplicar $x$$y$, se puede multiplicar en el finitely generado subgrupo $\langle x,y\rangle$, después de todo. Directa el límite es sólo una forma de unir todos estos subgrupos que debemos ser capaces de hacer ya que todos ellos son "realmente" ya pegados en el interior de $G$.
Croquis de la prueba. Ahora, vamos a $G$ ser un grupo. Deje $I$ ser la colección de todos los finitely generado subgrupos de $G$, y el fin de $I$ por la inclusión de los subgrupos. Para cada elemento $i\in I$, vamos a $H_i$ ser el subgrupo $i$ sí (recuerde que $i$ es un subgrupo de $G$, por definición, de $I$). Si $i\leq j$, $i\subseteq j$ como juegos, así que nos vamos a $f_{ij}\colon H_i \to H_j$ ser la inclusión del mapa. Tenga en cuenta que si $i=j$,$f_{ii} = \mathrm{id}_{H_i}$, como se requiere, y si $i\leq j\leq k$,$H_i\subseteq H_j\subseteq H_k$, y la inclusión $H_i\hookrightarrow H_k$ es la composición de la inclusión $H_i\hookrightarrow H_j$$H_J\hookrightarrow H_k$. Por lo $\{H_i,f_{ij}\}_{i\in I}$ es un sistema dirigido de grupos. Deje $H$ directo límite, y deje $f_i\colon H_i\to H$ ser la estructura de los mapas en el directo de límite. La estructura de los mapas son uno-a-uno, porque $[(h,i)] = [(e,j)]$ si y sólo si existe $k\geq i$ tal que $f_{ik}(h) = e$, pero todos nuestros $f_{ik}$ son de uno a uno.
Para ver los directos límite es (isomorfo a) un subgrupo de $G$, tenga en cuenta que usted tiene incrustaciones $\varphi_i\colon H_i\hookrightarrow G$ $H_i$ $G$por cada $i$, y este incrustaciones conmuta con la estructura de los mapas de $f_{ij}$. Esto significa que por el universal de la propiedad hay un homomorphism $\phi\colon H \to G$ tal que $\varphi_i = \phi\circ f_i$ todos los $i$. En particular, $\phi$ es una incrustación, por lo $H$ es (isomorfo a) un subgrupo de $G$. Para ver que el mapa está en, vamos a $g\in G$. A continuación, dejando $i=\langle g\rangle$, $g$ es en la imagen de $\varphi_i$, por lo tanto en la imagen de $\phi$. Por lo tanto, $\phi$ es un isomorfismo.
Añadido. El mismo argumento vale para cualquier colección de $\mathcal{C}$ de los subgrupos de $G$ tales que (i) cada elemento de a $G$ se encuentra en al menos uno de los subgrupos en $\mathcal{C}$; (ii) dado que cualquiera de los dos subgrupos $H$$K$$\mathcal{C}$, hay un subgrupo de $M$ $\mathcal{C}$ que contiene tanto $H$ $K$. Lo que funciona para $\mathcal{C}$ "todos finitely generado subgrupos"; "todos los subgrupos"; para el infinito cardenal $\kappa$, "todos los subgrupos de cardinalidad menor o igual a $\kappa$"; y otras clases.
En niza algebraicas categorías como $\text{Ab}$, el colimit directo (límite) más de una (edit: dirigido) diagrama de inclusiones se comporta como una "unión" operación debería, por lo que este resultado no debería venir como una sorpresa. En cualquier caso, vamos a verificar el universal de la propiedad. Dado un grupo abelian $G$, vamos a $G_i, i \in I$ ser una indexación de su finitely generado subgrupos, que se encajan en lo obvio diagrama de inclusiones. Queremos comprobar los siguientes universal de la propiedad: dado un grupo abelian $H$ y un sistema compatible de morfismos $\phi_i : G_i \to H$, estos morfismos factor a través de un único morfismos $\phi : G \to H$.
Esto no es realmente una muy profunda de la realidad. Un sistema compatible de morfismos $\phi_i$ es, precisamente, una lista donde cada elemento de a $G$ va (ya que cada elemento de a $G$ está contenida en un finitely generado subgrupo, es decir, aquella que genera; esto demuestra la unicidad), junto con una garantía de que esta lista respeta todas las relaciones de $G$ (puesto que las relaciones implican un número finito de elementos, por lo que puede ser verificado en el subgrupo que generan). En otras palabras, se define un único morfismos $G \to H$.
De nuevo, en buen algebraica de las categorías de la misma es verdadera: por ejemplo, es verdad lo de los grupos, anillos, anillos conmutativos, .... Esto tiene las siguientes agradable aplicación: desde un anillo conmutativo es el colimit de su finitely generado subrings, un esquema afín es el límite de Noetherian esquemas (y esto es cierto en relación a un Noetherian base). También implica que el espectro de un anillo Booleano es un límite finito de conjuntos, por lo tanto, un profinite establecido (es decir, una Piedra en el espacio); véase, por ejemplo, esta entrada del blog.
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