¿Cómo puedo calcular el gradiente de una función en el espacio n-dimensional?

Question

$q(x)=x^TAx+b^Tx+c$

Una es la matriz. $x,b\in \mathbb{R}^n$ $c\in \mathbb{R}$

Yo realmente no sé cómo calcular cuando tengo este forumula al principio.

Answer 1

$$q(x+h)=(x+h)^TA(x+h)+b^T(x+h)+c=\\=x^TAx+b^Tx+c+\color{blue}{h^TAx}+x^TAh+b^Th+h^TAh=\\ =\color{red}{x^TAx+b^Tx+c}+\color{blue}{x^TA^Th}+x^TAh+b^Th+\color{brown}{h^TAh}=\\=\color{red}{q(x)}+x^T(A^T+A)h+b^Th+\color{brown}{O(\lVert h\rVert^2)}$$

De ahí, $$\nabla_xq=x^T(A^T+A)+b^T$$

Answer 2

Me gusta hacer este componente sabio, el uso de $\partial_k = \partial / \partial x_k$: \begin{align} \DeclareMathOperator{grad}{grad} (\grad q(x) )_k &= \partial_k q(x) \\ &= \partial_k \left( \sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j + \sum_i b_i x_i + c \right) \\ &= \sum_{i,j} a_{ij} \left( (\partial_k x_i) x_j + x_i (\partial_k x_j) \right) + \sum_i b_i \partial_k x_i\\ &= \sum_{i,j} a_{ij} \left( \delta_{ki} x_j + x_i \delta_{kj} \right) + \sum_i b_i \delta_{ki} \\ &= \sum_j a_{kj} x_j + \sum_i a_{ik} x_i + b_k \\ &= e_k^\top (A x + A^\top x + b) \\ \end{align} Lo que significa que $$ \grad p(x) = (a + a^\la parte superior) x + b $$ Si $A$ es simétrica ($A = A^\top$) el plazo puede ser más simplificado para $$ \grad p(x) = 2 a x + b \\ $$ lo que casi se corresponde con el caso unidimensional $ax^2 + bx + c \mapsto 2 ax + b$.

Answer 3

Si usted entiende lo que es un degradado es y está buscando simplemente una referencia rápida, usted puede encontrar la fórmula en La Matriz libro de cocina (ecuación 97 en la página 12), se ha útiles relaciones para que usted no tenga que volver a derivar de ellos si usted se olvida de ellos.

Sólo para revisar:

$q(\boldsymbol{x})$ es una función con valores reales y su pendiente será un vector de la misma longitud como $\boldsymbol{x}$. El $i$ésima del vector gradiente es el derivado de la $q(\boldsymbol{x})$ con respecto al $i$th entrada de $\boldsymbol{x}$. Por lo tanto, desde el $c$ es sólo una constante (y porque la derivada de una suma finita es la suma de los derivados) no afecta a la pendiente de $q(\boldsymbol{x})$ y puede ser ignorado. Luego puede "fingir" que $c=0$ y el uso de la fórmula que he mencionado como referencia para los cálculos.