Me gustaría saber el comportamiento de las integrales de la forma: $$ \int_0^1 f(x) \cos(k x) dx $$ como $ k \rightarrow \infty $ donde f es una función suave. Es fácil ver, por la expansión de f en el poder de la serie, que la integral es delimitada por $ \approx \frac{1}{k} $, pero me gustaría saber el coeficiente. ¿Hay alguna forma de saber esto fácilmente?
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TheCompWiz
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Un principio importante del análisis de Fourier es que la decadencia de los coeficientes de Fourier está ligado a la suavidad de la función que buscan los coeficientes de Fourier. Lo mismo es cierto de la transformada de Fourier.
Si $f$ $k$ veces continuamente diferenciable y periódicos (o, de manera equivalente, se extiende suavemente a una función periódica), entonces los coeficientes de Fourier de la caries como $o(1/|n|^k)$, es decir,$|n|^ka_n \to 0$$|n|\to\infty$. Este sale de la de Riemann-Lebesgue lema y fácil de inducción.
Si $f$ es meramente de Lipschitz continua, es decir no existe $C>0$ tal que $|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|$ todos los $x,y$, a continuación, sus coeficientes de Fourier de la caries como $o(1/|n|)$. Si $f$ es Titular continuo de la orden $\alpha$, $0<\alpha\leq 1$, es decir, existe $C>0$ tal que $|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^\alpha$ todos los $x,y$, a continuación, sus coeficientes de Fourier de la caries como $o(1/|n|^\alpha)$. (Lipschitz es el caso especial de soporte para $\alpha=1$.)
Si $f$ es Riemann integrable, entonces por el teorema de Parseval lo único que consigue es $\sum a_n^2<\infty$ y, por tanto, $a_n$ son acotados, es decir,$a_n=o(1)$.
Tenga en cuenta que la mera continuidad es un muy débil condición para poner en una función cuando se trata de los coeficientes de Fourier. Hay incluso una función continua cuya serie de Fourier diverge en un punto. Se trata de una modificación de la función diente de sierra. Por supuesto, no puede ser diferenciable desde la serie de Fourier de una función converge a la función donde es derivable.
