Problema en Kunen - representación adecuada de ZF se demuestra la consistencia de ZF?

Question

Me trataron de demostrar que el ejercicio problema en Kunen (Capítulo IV, el problema 36.)

Problema. Muestran que no hay una fórmula $\chi(x)$, de tal manera que

1. $\chi$ representa ZF; es decir,$$\phi\in \mathsf{ZF}\to \mathsf{ZF}\vdash\chi(\ulcorner\phi\urcorner)\quad\text{and}\quad \phi\notin \mathsf{ZF}\to \mathsf{ZF}\vdash \lnot\chi(\ulcorner\phi\urcorner)$$

2. Si $\ulcorner\mathsf{ZF}\urcorner$ es añadido a través de la definición de $\ulcorner\mathsf{ZF}\urcorner=\{x:\chi(x)\}$,$\mathsf{ZF}\vdash \mathsf{CON(\ulcorner ZF\urcorner)}$.

(donde $\mathsf{CON}(\ulcorner T\urcorner)$ es la consistencia del argumento de $T$ que se formaliza dentro de la teoría formal $\mathsf{ZF}$.)

Pero no estoy siquiera entender el problema. Por qué la segunda incompletitud no se aplica en ese caso? En la página 144-145 en Kunen, él escribe

(...) Ahora tenemos para cada una de las $S$, una frase $\mathsf{CON}(\ulcorner S\urcorner)$, en el lenguaje de la teoría de conjuntos afirmar que $S$ es consistente. (...) La Gödel Teorema de la Incompletitud muestra que si $S$ es consistente y se extiende $\mathsf{ZF}$,$S\nvdash\mathsf{CON}(\ulcorner S\urcorner)$. (Precaución: este presupports que hemos utilizado un "razonable" $\chi_S$ a representar a $S$.)

(Agregar: $\chi_S$ es $S$; se explicó el delantero del comentario de arriba.)

Yo tampoco entiendo ese comentario. Yo estaría muy agradecido por cualquier explicación razonable.

Answer 1

Gracias a GME y Habič comentarios, entiendo y puedo probar ese problema. Esta respuesta es solo para rellenar los detalles de sus comentarios.

Vamos a definir $$\chi(n)\leftrightarrow n\in \mathsf{ZF}\land \mathsf{CON}\{m\in\mathsf{ZF}:m\le n\}.$$

Consideramos que $\mathsf{ZF}$ como el recursiva conjunto de Gödel numeraciones de los axiomas de ZF. Si $\phi\in \mathsf{ZF}$,$\mathsf{ZF}\vdash (\ulcorner\phi\urcorner\in \mathsf{ZF})$. También, si $\psi_1$, $\psi_2$, $\cdots$, $\psi_k$ son los axiomas de ZF cuyo número de Gödel es menor que el número de Gödel de $\phi$, a continuación, por la reflexión, la consistencia de $\{\psi_1,\cdots,\psi_k,\phi\}$ es demostrable a partir de ZF; es decir, $\mathsf{ZF}\vdash \mathsf{CON}\{m\in\mathsf{ZF}:m\le \ulcorner\phi\urcorner\}$. Por lo tanto,$\mathsf{ZF}\vdash\chi (\ulcorner\phi\urcorner)$. Si $\phi\notin \mathsf{ZF}$ $\mathsf{ZF}\vdash (\ulcorner\phi\urcorner\notin \mathsf{ZF})$ $\mathsf{ZF}\vdash\lnot\chi(\ulcorner\phi\urcorner)$

Vamos a probar que, si $\ulcorner\mathsf{ZF}\urcorner$ es añadido a través de la definición $$\ulcorner\mathsf{ZF}\urcorner=\{n:\chi(n)\}$$ a continuación,$\mathsf{ZF}\vdash \mathsf{CON(\ulcorner ZF\urcorner)}$. Vamos a utilizar la reducción a lo absurdo dentro de la teoría formal $\mathsf{ZF}$.

Si $\lnot\mathsf{CON(\ulcorner ZF\urcorner)}$ se mantiene, entonces hay una prueba de $\pi$ a partir de algunos supuestos $a_1,a_2,\cdots,a_n\in \ulcorner \mathsf{ZF}\urcorner$ a contradicción. Pero ya sabemos que $\mathsf{CON}\{a_1,a_2,\cdots a_n\}$ mantiene. Así que no podemos derivar una contradicción de $a_1$, $\cdots$, $a_n$. Por tanto, tenemos $\mathsf{ZF+}\lnot\mathsf{CON(\ulcorner ZF\urcorner)}$ deriva contradicción a fin de $\mathsf{ZF}\vdash \mathsf{CON(\ulcorner ZF\urcorner)}$.

Si no está en contradicción con la segunda imcompleteness teorema desde $\chi$ al menos $\Pi_1^0$, por lo que no es recursiva.