La prueba de la desigualdad de $1+1!+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} >\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n$

Question

Agradecería si alguien me podría ayudar con el siguiente problema:

P: Prueba

$$1+1!+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} >\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n (n\geq2, n\in \mathbb{N})$$

Answer 1

El lado derecho es $$\begin{align} \sum_{k=0}^n{n\choose k}\frac1{n^k}&=\sum_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot\frac1{n^k}\\&=\sum_{k=0}^n\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\cdot\frac1{n^k}\\&\le\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}\cdot\frac1{n^k}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\end{align}$$ y $\le$ puede ser sustituido por $<$ si un sumando con $k\ge2$ se produce.