Deje $M$ ser un cerrado hiperbólico $3$-colector, y $e \in H^2(M)$ integral cohomology de la clase que es la primera clase de Chern de un $Spin^c$ estructura $M$. Supongamos que existe una solución para el monopolo ecuaciones en $M$ esto $Spin^c$ clase con respecto a la métrica hiperbólica en $M$. De lo anterior se sigue que el $e$ es un monopolo de clase? De manera más general, es cierto que como una métrica en un $3$-colector evoluciona (nonsingular) flujo de Ricci, los pares de soluciones para el monopolo ecuaciones pueden desaparecer, pero los nuevos, nunca aparecen?
(Agregado:) Una de las razones de estar interesados, es que si la respuesta es "sí", entonces se puede deducir que una clase dada es un monopolo de la clase directamente de la geometría. Entonces, uno puede esperar utilizar esta información para mostrar que ciertas familias de las clases (por ejemplo. en las familias de los colectores obtenidos por hiperbólico Dehn de la cirugía en algunos fijos cusped colector) son todos monopolo clases. De manera más abstracta, si uno tiene un "natural" de la PDE en un colector que depende de la métrica, entonces uno debe tratar de entender cómo/si las soluciones para que la PDE evolucionar bajo la "natural" de los flujos en el espacio de las métricas. Una similar (más geométrica) pregunta podría ser: son las superficies mínimas destruido por el flujo de Ricci, pero jamás creado? Por ejemplo. si un hiperbólico $3$-colector contiene incrustada la superficie mínima, hay un isotópica de la superficie mínima en cada una de las otras métricas en el colector? La razón para especular acerca de una conexión entre el monopolo ecuaciones y flujo de Ricci es el papel clave de escalar de curvatura en ambos casos: a través de la Weitzenbock fórmula para el operador de Dirac, por un lado; y a través de Hamilton de la monotonía de la fórmula para el infimum de escalar de curvatura bajo (reescalado) flujo de Ricci en el otro.
