Son polinomios de la forma : $ f_n= x^n+x^{n-1}+\cdots+x^{k+1}+ax^k+ax^{k-1}+\cdots+a$ irreductible $\mathbb{Z} $?

Question

Es cierto que los polinomios de la forma :

$ f_n= x^n+x^{n-1}+\cdots+x^{k+1}+ax^k+ax^{k-1}+\cdots+a$

donde $\gcd(n+1,k+1)=1$ , $ a\in \mathbb{Z^{+}}$ , $a$ es número impar , $a>1$, e $a_1\neq 1$

son irreducibles sobre el anillo de los enteros $\mathbb{Z}$?

Eisenstein criterio , Cohn criterio , y Perron el criterio no puede ser aplicado a los polinomios de esta forma.

Ejemplo :

El polinomio $x^4+x^3+x^2+3x+3$ es irreducible sobre los enteros, pero ninguno de los criterios anteriores pueden ser aplicadas en este polinomio.

EDITAR :

Tenga en cuenta que de forma general para$f_n$: $f_n=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ , por lo que la condición de $a_1 \neq 1$ es equivalente a la condición de $k \geq 1$ . También polinomio se puede expresar en la forma :

$$f_n=\frac{x^{n+1}+(a-1)x^{k+1}-a}{x-1}$$

Answer 1

Aleks idea produce muchos contraejemplos en caso de $k=0$.

deje $P(x)=x^n+x^{n-1}+..+x$, $n$ impar. Elija cualquiera de los negtive entero$a$, de modo que $P(a) <0$.

A continuación, $P(x)-P(a)$ es reductible $Z$.

Answer 2

Una excelente pregunta!

EDIT: no entendí la pregunta de donde se declaró que $a_1 \neq 1$. En el caso de que $a_1 = 1$ hay infinitamente muchos ejemplos de lo contrario para cada grado impar $\ge 3$.

Aquí está el código que he usado. Se está muy lejos de ser perfecto, así que siéntase libre para probarlo y mejorarlo.

f[n_, k_, a_, z_] := a Sum[z^i, {i, 0, k}] + Sum[z^i, {i, k + 1, n}]

falselist = {};

For[t = 1, t <= 50, t++,
 list = Table[If[GCD[n + 1, k + 1] == 1, Expand[f[n, k, 2 t + 1, z]], 0], {n, 1, 50}, {k, 1, n - 1}];
 list = Select[Flatten[list], SameQ[#, 0] == False &];
 new = Table[{Factor[list[[k]]], SameQ[list[[k]], Factor[list[[k]]]]}, {k, 1, Length[list]}];
   For[k = 1, k <= Length[new], k++,
       If[new[[k, 2]] == False, 
       falselist = Append[falselist, {Expand[new[[k, 1]]], new[[k, 1]]}]]
      ]
   ]

falselist

Qué hace el código es el siguiente. Primero se crea una lista de todos los polinomios de grado hasta e incluyendo 50. Para ello, el código sólo se ejecuta a través de todas las posibilidades y comprueba cuáles satisfacer el mcd requisito. A continuación, el código recoge la no-cero entradas (porque no queremos Null).

A continuación, el código crea una tabla (nuevo), donde cada entrada es el par $f_n$ y si el factoring falla (por lo SameQ daría la respuesta "Verdadero"). En la final, el bucle recoge los polinomios que no factor y factores.

El exterior para el bucle va más de la extraña $a$'s hasta 101.

Answer 3

El caso de $a=2$ se resuelve en el siguiente post en mi blog: http://mathproblems123.wordpress.com/2009/11/02/irreductible-polynomial/ es una parte de Miklos Schweitzer 2009 concurso. Una generalización puede ser encontrado en la segunda parte del post, la generalización a la que he propuesto para el Equipo rumano Pruebas de Selección de la OMI en 2010.

El polinomio que presente claramente satisface las condiciones de la siguiente propiedad: http://mathproblems123.wordpress.com/2009/11/09/position-of-roots/, lo que demuestra que las raíces de su polinomio han módulo estrictamente mayor que 1 o su polinomio tiene como raíz la raíz de la unidad de la orden. Esto podría ayudar a que usted se derivan de algunas de las propiedades que demostrar irreductibilidad, el uso de las raíces.

Al $a$ es primo, el método en el primer post se puede aplicar y su polinomio es irreducible. Al $a$ es compuesto, las cosas se complican.

Answer 4

Suponiendo que hay dos disisors de $f_n$, con terminaciones $(...gx^{2}+cx+d)(...hx^{2}+ex+f)$. Entonces a=df y=de+fc y=hd+gf+2ce. Las dos primeras ecuaciones son sólo posibles si d y f, comparten al menos un factor común p que no es un factor de c o correo. Pero luego por la tercera ecuación p|2ce, y p debe ser impar puesto que p|a y a es impar.