Resuelva $y ^2-x(\frac{dy}{dx})^2 = 1$ utilizando el cambio de variables propuesto

Question

Estoy un poco atascado con este diferencial no lineal. Me estoy preparando para mis finales y no puedo conseguir este.

La pregunta completa es la siguiente:

Encuentra todas las soluciones de la ecuación $y ^2-x(\frac{dy}{dx})^2 - 1= 0$ indicando en cada caso el intervalo de solución máxima. Sugerencia:

Utilice $u=y'\sqrt{-x},\,x<0$ y $u=y'\sqrt{x},\,x>0$

También se dan las soluciones finales:

$y=1$ y $y=-1 \quad\forall x $

$y(x)=cosh(2\sqrt{x}+K),\quad x>0$

$y=cos(2\sqrt{-x}+K),\quad x<0$

Lo que he hecho hasta ahora. Que $u=y'\sqrt{x}\Rightarrow u'=y''\sqrt{x}+y'\frac{1}{2\sqrt{x}}$ y lo introduzco en la ecuación original y diferencio con x:

$y^2-u^2=1\Rightarrow 2yy'-2u(y''\sqrt{x}+\frac{y'}{2\sqrt{x}})=0$ .

Retroceder el cambio $u=y'\sqrt{x},\,x>0$ obtenemos:

$2yy'-2y'\sqrt{x}(y''\sqrt{x}+\frac{y'}{\sqrt{x}})=yy'-y'y''x-y'^2 =y'(y-y''x-y')=0$ .

Así obtenemos $y'=0 \Rightarrow y=C$ que no es una de las soluciones indicadas o $(y-y''x-y')=0$ que no tiene mucho sentido para mí, ya que terminamos con una ecuación de segundo orden, que necesita dos constantes arbitrarias, cuando en realidad empezamos con una ecuación de primer orden.

En realidad, he obtenido las tres primeras soluciones utilizando un enfoque diferente, que no es el que se insinúa, pero he publicado no obstante, en caso de que pueda ayudar a alguien con el fin de ayudarme :)

$y'^2=\frac{y^2-1}{x}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{y^2-1}}dy=\pm\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ . Soluciones $y=\pm 1$ aparecen en este paso.

Utilizando la sustitución $y=cosht$ obtenemos $t=\pm2\sqrt{x}+C$ que da la tercera: $y=cosh(2\sqrt{x}+C)$ .

Sin embargo no consigo que la sustitución propuesta funcione y no encuentro la última solución cuando x es negativo. ¡¡¡¡Agradezco cualquier ayuda!!!!

Gracias.

Answer 1

Así obtenemos $y=0y=C$ que no es una de las soluciones propuestas

Tienes razón. No es un de las soluciones indicadas. Es dos de ellos. A saber, las soluciones $y=1$ y $y = -1$ .

Recuerda que para llegar a esta etapa, has diferenciado tu ecuación original: $y^2u^2=1$ para obtener la ecuación que tienes en este punto. Al igual que al elevar ecuaciones al cuadrado en álgebra, esto introduce soluciones adicionales. Así que tienes que cotejar las soluciones que obtienes con la ecuación original para ver cuáles funcionan para ella. $y = C$ para un $C$ es una solución de la ecuación diferenciada, pero al volver a introducir esa ecuación en la original, descubrimos que se reduce a $C^2 = 1$ . Es decir, sólo es una solución de la ecuación original cuando $C = 1$ o $C = -1$ .

Del mismo modo, no todas las soluciones de $yyxy=0$ tampoco serán soluciones de la ecuación original. Como has señalado, tendrá dos constantes arbitrarias. Pero si introducimos esas soluciones en la ecuación original, obtendremos una ecuación que relaciona esas dos constantes arbitrarias, reduciendo de nuevo los grados de libertad a uno.

Respecto a su propio método de separación de variables, cuando pasó de $y'=\pm\frac{y^2-1}{x}$ a $\frac{1}{\sqrt{y^2-1}}dy=\pm\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ usted asumió implícitamente que $y^2 > 1$ . Si en lugar de eso examina $y^2 < 1$ entonces se obtiene la solución del coseno.