Encontrar todos los $x$ tal que $x^6 = (x+1)^6$.

Question

Encontrar todos los $x$ tal que $$x^6=(x+1)^6.$$

Hasta ahora, he encontrado la solución real $x= -\frac{1}{2}$, y la solución compleja $x = -\sqrt[3]{-1}$.

Hay más, y si es así ¿qué/cómo sería el más eficiente de encontrar todas las soluciones a este problema? Estoy luchando para encontrar el resto de las soluciones.

Answer 1

Desde $0$ no es una solución, esto es equivalente a resolver $$ \frac{x+1}{x}=\zeta $$ donde $\zeta$ es un sexto de la raíz de $1$.

A continuación,$x+1=\zeta x$, por lo que $$ x=\frac{1}{\zeta-1} $$ De curso $\zeta=1$ no debe ser considerada. Hay otros cinco sexto raíz de $1$, es decir, $$ e^{2k\pi i/3} $$ para $1\le k\le 5$.

Answer 2

Sugerencia Nos puede este factor como:

$$(x-(x+1))(x+(x+1))(x^2-x(x+1)+(x+1)^2)(x^2+x(x+1)+(x+1)^2)=0$$

Ahí tenemos una lineal y dos cuadráticas que usted debería ser capaz de resolver.

Answer 3

Podemos simplificar el problema mediante la sustitución de $x=y-\frac{1}{2}$.

$$x^6 = \left(x+1\right)^6$$

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^6 = \left(y+\frac{1}{2}\right)^6$$

Si ampliamos ambos lados y, a continuación, recoger los términos, incluso los poderes de $y$ la deserción escolar y sólo el extraño poder seguirá siendo.

$$6y^5+5y^3+\frac{3}{8}y=0$$

Puedes factor de la raíz a las $y=0$ (es decir, correspondiente a la solución de $x=-\frac{1}{2}$) y, a continuación, el factor de los restantes polinomio en dos cuadráticas.

$$6y\left(y^2+\frac{3}{4}\right)\left(y^2+\frac{1}{12}\right)=0$$

Creo que se puede tomar desde aquí?

Answer 4

Expandir el lado derecho (teorema del binomio le ahorrará tiempo): $$x^6=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1$$ Subtract $x^6$ de ambos lados: $$0=6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1$$ Now just find the roots of this $5$th degree polynomial. If you are working over the complex numbers there will be exactly $5$ (see fundamental theorem of algebra), if you are only working in the real numbers $x=-\frac 12$ es la única solución.