Cómo resolver DE los que se relacionan los valores de los derivados en diferentes puntos?

Question

Yo trato de resolver para la función específica $f(x) = \frac{2-2a}{x-1} \int_0^{x-1} f(y) dy + af(x-1)$

Es similar a la función que se utiliza para encontrar la Renyi de estacionamiento constante porque salió de una simple generalización de ese problema.

La habilidad que he adquirido en mi diferencial de la clase aún no se puede resolver $f(x) = f'(x-1)$

Yo no estoy buscando a nadie para resolver eso. Sólo quiero saber las técnicas para la solución DE donde las funciones y los derivados son evaluados en diferentes puntos.(¿Cuál es la terminología para este tipo de?)

Answer 1

Deje $u=x-1$ ,

A continuación, $f(u+1)=\dfrac{2(1-a)}{u}\int_0^uf(y)~dy+af(u)$

$\dfrac{2(a-1)}{u}\int_0^uf(y)~dy=af(u)-f(u+1)$

$2(a-1)\int_0^uf(y)~dy=auf(u)-uf(u+1)$

$2(a-1)f(u)=auf'(u)+af(u)-uf'(u+1)-f(u+1)$

$uf'(u+1)+f(u+1)-auf'(u)+(a-2)f(u)=0$

Deje $f(u)=\int_Ce^{us}K(s)~ds$ ,

A continuación, $u\int_Cse^{(u+1)s}K(s)~ds+\int_Ce^{(u+1)s}K(s)~ds-au\int_Cse^{us}K(s)~ds+(a-2)\int_Ce^{us}K(s)~ds=0$

$\int_Cs(e^s-a)e^{us}K(s)~d(us)+\int_C(e^s+a-2)e^{us}K(s)~ds=0$

$\int_Cs(e^s-a)K(s)~d(e^{us})+\int_C(e^s+a-2)e^{us}K(s)~ds=0$

$[s(e^s-a)e^{us}K(s)]_C-\int_Ce^{us}~d(s(e^s-a)K(s))+\int_C(e^s+a-2)e^{us}K(s)~ds=0$

$[s(e^s-a)e^{us}K(s)]_C-\int_C(s(e^s-a)K'(s)+((s+1)e^s-a)K(s))e^{us}~ds+\int_C(e^s+a-2)e^{us}K(s)~ds=0$

$[s(e^s-a)e^{us}K(s)]_C-\int_C(s(e^s-a)K'(s)+(se^s-2(a-1))K(s))e^{us}~ds=0$

$\therefore s(e^s-a)K'(s)+(se^s-2(a-1))K(s)=0$

$s(e^s-a)K'(s)=-(se^s-2(a-1))K(s)$

$\dfrac{K'(s)}{K(s)}=-\dfrac{e^s}{e^s-a}+\dfrac{2(a-1)}{s(e^s-a)}$

$\int\dfrac{K'(s)}{K(s)}ds=\int\left(-\dfrac{e^s}{e^s-a}+\dfrac{2(a-1)}{s(e^s-a)}\right)ds$

$\ln K(s)=-\ln(e^s-a)+\int_k^s\dfrac{2(a-1)}{r(e^r-a)}dr+c_1$

$K(s)=\dfrac{ce^{\int_k^s\dfrac{2(a-1)}{r(e^r-a)}dr}}{e^s-a}$

$\therefore f(u)=\int_C\dfrac{ce^{us+\int_k^s\dfrac{2(a-1)}{r(e^r-a)}dr}}{e^s-a}ds$

$f(x)=\int_C\dfrac{ce^{xs+\int_k^s\dfrac{2(a-1)}{r(e^r-a)}dr}}{e^s-a}ds$

Pero desde el anterior procedimiento adecuado para cualquier número complejo a $s$,

$\therefore f_n(x)=\int_{a_n}^{b_n}\dfrac{c_ne^{x(p_n+q_ni)t+\int_{k_n}^{(p_n+q_ni)t}\dfrac{2(a-1)}{r(e^r-a)}dr}}{e^{(p_n+q_ni)t}-a}d((p_n+q_ni)t)$

Para algunos $x$independiente del número real de opciones de $a_n$ , $b_n$ , $p_n$ , $q_n$ y $k_n$ tal forma que:

$\displaystyle\lim_{t\to a_n}(p_n+q_ni)te^{x(p_n+q_ni)t+\int_{k_n}^{(p_n+q_ni)t}\dfrac{2(a-1)}{r(e^r-a)}dr}=\lim_{t\to b_n}(p_n+q_ni)te^{x(p_n+q_ni)t+\int_{k_n}^{(p_n+q_ni)t}\dfrac{2(a-1)}{r(e^r-a)}dr}$

$\int_{a_n}^{b_n}\dfrac{e^{x(p_n+q_ni)t+\int_{k_n}^{(p_n+q_ni)t}\dfrac{2(a-1)}{r(e^r-a)}dr}}{e^{(p_n+q_ni)t}-a}d((p_n+q_ni)t)$ converge