Cuando $\Omega\subconjunto%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$, $n\geq2$ es un dominio acotado, tenemos por el Sobolev la incrustación de teoremas
que $W_{0}^{k,p}\left( \Omega\right) \subconjunto L^{p}\left( \Omega\right)
,~1\leq q\leq\frac{pn}{n-pk},~kp<n$ and that $W_{0}^{k,\frac{n}{k}}\left(
\Omega\right) \subconjunto L^{p}\left( \Omega\right) ,~1\leq q<\infty$. Sin embargo,
hay contraejemplos a la incrustación de $W_{0}^{k,\frac{n}{k}}\left(
\Omega\right) \subconjunto L^{\infty}\left( \Omega\right) $. En este caso,
fue propuesto independientemente por Yudovich, Pohozaev y
Trudinger que $W_{0}^{1,n}\left( \Omega\right) \subconjunto
L_{\varphi_{n}}\left( \Omega\right) $ where $L_{\varphi_{n}}\left(
\Omega\right) $ es el espacio de Orlicz asociados con los Jóvenes de la función
$\varphi_{n}(t)=\exp\left( \beta_{n} \left\vert t\right\vert ^{n/(n-1)}%
\right) -1$ for some positive $\beta_{n}$. Por otra parte, Moser ha profundizado más en
en esta dirección y, además, el mayor número real positivo $\beta_{n}$.
De hecho, en sus 1971 papel [Una fuerte forma de una desigualdad por N. Trudinger. Indiana Univ. De matemáticas. J. 20 (1970/71), 1077-1092.], J. Moser demostrado el siguiente resultado: existen agudo constante $\beta_{n}%
=n\omega_{n-1}^{\frac{1}{n-1}}$, where $\omega_{n-1}$ es la
área de la superficie de la unidad de $n-$bola, de tal manera que
$$
\frac{1}{\left\vert \Omega\right\vert }\int_{\Omega}\exp\left( \beta
\left\vert u\right\vert ^{\frac{n}{n-1}}\right) dx\leq c_{0}%
$$
para cualquier $\beta\leq\beta_{n}$, $u\en W_{0}^{1,n}\left(
\Omega\right) $ with $\int_{\Omega}\left\vert \nabla u\right\vert
^{n}dx\leq1$. This constant $\beta_{n}$ es fuerte en el sentido de
que si $\beta>\beta_{n}$, entonces la desigualdad anterior no puede
sostenga con algunos $c_{0}$ independiente de $u$.
El mismo resultado para $W_{0}^{k,p}\left( \Omega\right)$ fue demostrado por D. Adams, en su papel de [Una fuerte desigualdad de J. Moser para las derivadas de orden mayor. Ann. de Matemáticas. (2) 128 (1988), no. 2, 385-398.]
