$ \det (ABC) = \det (B) \det (AC)$ ?

Question

Supongamos que $A$ , $B$ y $C$ son $(n \times m)$ , $(m \times m)$ y $(m \times n)$ matrices respectivamente, con $m \gt n$ . ¿Cuáles son las condiciones más generales en las que

$$ \det (ABC) = \det (B) \det (AC)$$

¿Las bodegas?

Answer 1

Supongamos que $A,C$ son matrices genéricas fijas y que buscamos $B=[b_{ij}]$ s.t. $\det(ABC)=\det(AC)\det(B)$ ; $\det(ABC)$ es una función homogénea del $(b_{ij})$ de grado $n$ y $\det(AC)\det(B)$ es una función homogénea de grado $m$ . Entonces el conveniente $B$ están en un conjunto algebraico de codimensión $1$ de $M_n(\mathbb{C})$ . Además, si tomamos una matriz genérica $E$ , entonces hay $\lambda\in \mathbb{C}$ s.t. $B=\lambda E$ es conveniente.