Intuición para distinguir debajo de la integral

Question

Me disculpo de antemano por una pregunta vaga.

Hay un teorema:

Si tanto $f(x,s)$ $\partial _sf(x,s)$ son continuas en a $x$ y $s$ , $$\partial_s\int_a^bf(x,s)\,dx=\int_a^b \partial_sf(x,s)\,dx$$

Si además de la $\int_{-\infty}^\infty \partial_s f(x,s)\,dx$ converge uniformemente en un barrio de $s_0$, $$\partial_s \int_{-\infty}^\infty f(x,s)\,dx=\int_{-\infty}^\infty \partial_s f(x,s)\,dx.$$

La prueba de que he de saber se basa en la integración en $s$ y, a continuación, cambiar el orden de integración de la convergencia uniforme. Pero más allá de la mecánica de la prueba, estoy tratando de desarrollar una intuición de este hecho. No parece intuitivo para mí que $$\partial_s \int f(x,s)\,dx = \int \partial_s f(x,s)\,dx.$$

Creo que la razón por la cual parece sorprendente para mí es que está integrando con respecto a una variable distinta de la integración.

Estoy familiarizado con algunos de los verdaderos análisis y teoría de la medida, así que siéntase libre de tono de una respuesta en ese nivel.

Answer 1

La integral es lineal, por eso, escritura $F(s) = \int f(x,s)\,dx$, tenemos

$$\frac{F(s+h)-F(s)}{h} = \int \frac{f(x,s+h)-f(x,s)}{h}\,dx,$$

y dejar que $h\to 0$, el integrando converge pointwise a $\partial_s f(x,s)$.

Así que intuitivamente, es de esperarse que el derivado de $F$ se obtiene integrando el derivado parcial de $f$ si es bastante agradable.

Answer 2

Creo que de manera integral $\int_a^bf(x,s)\,dx$ como una infinita suma de $\sum_a^b f(x_i, s) \Delta x_i$, donde el $x_i$ son los puntos de un adecuado partición de $[a,b]$. Usted está probablemente consciente de que el hecho de que las sumas pueden ser diferenciados término a término; de ello se sigue que la diferenciación de la suma con respecto a $s$ pueden ser llevados a la suma. La buena noticia es que este procedimiento informal puede ser formalizada a través de la hyperreals en términos de hyperfinite sumas; tenga en cuenta que la integral en sí no es exactamente un hyperfinite suma sino la norma parte de la misma, es decir, el resultado de redondeo al más próximo número real.