En primer lugar, hablamos de área de forma en el plano Euclidiano:
Atrás en el tiempo antiguo, griego (como la de Euclides) realmente no asignar numérico valor real de la zona de forma, a diferencia de nosotros hoy en día. De hecho, el objeto tienen la misma área si podemos cortaremos en forma finita de la pieza y el uso de isometría (reflexionar, rotar, traducir) para convertir uno en otro. Que es mínimamente suficiente, porque todo lo que importa es que lo que alguna vez la estructura algebraica que contiene todos los valores posibles para la zona de la operación de adición y un orden total. De manera estricta, no tenemos realmente necesidad teoría de la medida (como se restringe a sólo valor real), y, por supuesto, medir teorema han CONTABLES de aditividad, que puede ser considerado demasiado fuerte es un requisito. Un moderno teorema (Bolyai-Gerwien teorema) nos dijo que, dado cualquier 2 forma poligonal de la misma convencionales área, usted puede, de hecho, siempre se cortan a finito de la pieza y el uso de isometría para convertir uno en otro. Este validar Euclidiana para la definición de área.
En el tiempo moderno, pensamos en la "forma" más bien como un conjunto de puntos, y queremos asignar valor numérico de la zona para todo subconjunto, la satisfacción de ciertas condiciones tales como ser invariantes bajo algún tipo de transformación, un ser finito aditivo, monotono, y una cierta normalización. Esto ya es lo suficientemente bueno para Arquímedes para aproximar $\pi$, sin tener nunca lidiar con una infinita suma.
En 2-la dimensión, von Neumann demostró que un cuadrado puede ser descompuesto, se aplican área de preservación de la transformación afín, y volver 2 cuadrado del mismo tamaño en su lugar. Sin embargo, por suerte, tal paradoja no puede ocurrir en forma poligonal y disco circular si sólo rígido movimiento se permite, gracias a un teorema debido a Banach. De hecho, podemos construir una asignación de área a todo subconjunto que es invariante bajo rígido movimiento y satisfacer a todos los otros razonable definición de área.
Ahora, a la pregunta de la zona en la dimensión superior:
Hausdorff paradójico de la descomposición de la cáscara esférica (muy relacionado con el infame de Banach-Tarski paradoja) significa que no podemos esperar para asignar el área de superficie para todos los posibles subconjunto que es invariante bajo rotaciones. Aunque, por supuesto, es intuitivamente claro que antes de eso, porque si un subconjunto es de muy mal aspecto, no hay ningún sentido hablar de la zona, porque no sabemos ni lo que es su "superficie".
Intento de definición se basa en la analogía con la curva de llegar a ser un fracaso. Una definición estándar de la longitud de la curva es el uso de la aproximación con el modelo lineal por tramos de la curva, y encontrar el supremum de tal aproximación. Es un buen método para la curva, como se puede medir todo tipo de curva, a menos que, por supuesto, si la curva se comportan tan mal que íbamos intuitivamente asignar una longitud de $\infty$ a de todos modos. Ese enfoque resulta ser un fracaso para el área de superficie con curvatura: te sería infinito área para una simple superficie, tal como un cilindro (cilindro de área paradoja).
Sin embargo, por más bonitas del tipo de área, el uno en una variedad diferenciable, se podría definir el área de uso de la analogía de la curva, pero esta vez la analogía con la curva diferenciable. Más allá de eso, las cosas se vuelven difusos, con diversos definición en desacuerdo el uno con el otro.
En conclusión, no sabemos realmente, una vez que llegue a la mayor dimensión. Pero tenemos una definición coherente para el área en 2 dimensiones plano Euclidiano.
