¿El cero valores propios de AB y BA tiene la misma multiplicidad algebraica (para AB y BA no cuadrado)?

Question

Sé que si A y B son matrices cuadradas de nxn, entonces AB y BA tienen la misma característica polinomial y así mismo valores propios (y misma multiplicidad de algebraïc).

Me pregunto sin embargo si esto se puede generalizar: Si A es una matriz de nxm y B una matriz de mxn, entonces AB es una matriz de nxn y BA una matriz de mxm. ¿Mi pregunta es: los valores propios de AB y BA, que difieren de cero, tendrá la misma multiplicidad de algebraïc?

Answer 1

Supongamos $A$ $d$ más filas que columnas, y, por tanto, que el $B$ $d$ más columnas que filas. Agregar $d$ cero columnas de a $A$, e $d$ cero filas a $B$, para obtener las matrices cuadradas $A',B'$. El producto $A'B'$ es idéntica a $AB$, mientras que $B'A'$ se obtiene a partir de a $BA$ mediante la adición de $d$ cero filas y $d$ cero columnas. Desde $B'A'$ es de bloque diagonal (en realidad bloque triangular habría bastado), el characterisitic polinomio de $B'A'$, que es igual a la de $A'B'$ por el resultado para matrices cuadradas, es $X^d$ veces el polinomio característico de a $BA$. Por lo tanto, lo has adivinado de hecho es cierto: $$\chi_{BA}=X^d\chi_{AB}.$$