$ y' = x^2 + y^2 $ asíntota

Question

Para el D.E. $$ y' = x^2 + y^2 $$ muestran que la solución con $y(0) = 0$ tiene una asíntota vertical en algún punto $x_0$ . Intenta encontrar límites superiores e inferiores para $x_0$ .

También me han dado la pista de que una estimación aproximada de los límites es $$ \sqrt{\frac{\pi}{2}} < x_0 < 2\sqrt{\frac{\pi}{2}} $$ Sin embargo, no estoy seguro de cómo obtener estos límites.

Mi enfoque hasta ahora ha sido comparar la ecuación diferencial anterior con la ecuación $$y' = 1 + y^2 $$ que sabemos que tiene la solución de $ y = \tan(x + c) $ y asíntotas en $x = \pm \frac{\pi}{2}$ . Pero aparte de eso estoy atascado.

Answer 1

Podemos comprobar que la solución viene dada por:

$$ y(x) = x \cdot \frac{J_{3/4}(x^2/2)}{J_{-1/4}(x^2/2)}\tag{1}$$

donde $J_n$ es un Función de Bessel . Ahora la raíz menos positiva de $J_{-1/4}$ está muy cerca de $2$ : numéricamente, la duración de la vida de $y(x)$ resulta ser entre $2$ y $2.01$ .

Es interesante recordar que el cociente de dos funciones de Bessel contiguas del primer tipo tiene una representación continua de fracciones :

$$\frac{J_\nu(z)}{J_{\nu-1}(z)}=\frac{z}{2\nu-\frac{z^2}{2(\nu+1)-\frac{z^2}{2(\nu+2)-\ldots}}}\tag{2}$$

por lo que, por ejemplo, nuestra solución se aproxima por $\frac{7x^3}{21-x^4}.$

Answer 2

Como $f(x,y)=x^2+y^2$ es localmente Lipschitz para la segunda variable, la ecuación tiene una y sólo una solución con la condición inicial dada definida para $x>0$ en un intervalo $[0,b)$ .

Tenemos que demostrar $b<+\infty$ .

Como $f$ es estrictamente positivo para $(x,y) \neq (0,0)$ la solución $y(x)$ es estrictamente creciente. Por lo tanto, para $0<a<x<b$ tenemos $$\frac{1}{x^2+y^2} \le \frac{1}{a^2+y^2}$$ y $$dx= \frac{dy}{x^2+y^2} \le \frac{dy}{a^2+y^2}$$ Por lo tanto, $$x - a= \int_{y(a)}^{y(x)} \frac{dy}{a^2+y^2} \le \frac{\pi}{2a} $$ y finalmente $$x \le \frac{\pi}{2a} +a$$ demostrando que $x$ está limitada por un valor $x_0$ para la cual la solución tiene una asíntota vertical (la solución no puede tener un límite para $x=x_0$ porque en ese caso podríamos ampliar la solución de la derecha).

Para encontrar los límites superior e inferior de $x_0$ necesitas "jugar" con la desigualdad $x \le \frac{\pi}{2a} +a$ .

Answer 3

No diré nada más, pero ya que he hecho el cálculo voy a publicar mi respuesta.

Supongamos que y(x) es una solución: entonces, como su derivada es no negativa, $\forall x$ , $y(x) \geq 0$ Así que $y(1) \geq 0= \tan 0$ . Tenga en cuenta además que $\forall x \geq 1$ , $y(x) \geq y'(x)^2 +1$ . Esto obliga a $y(x)$ , para $x \geq 1$ para ser más grande que $\tan (x-1)$ que es la solución del problema $$y(1)=0 \ \ \ y'(t)=y(t)^2+1,$$ por lo que la solución no puede existir más allá de $1+\frac{\pi}2 $ .