Métrico sobre un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^d$ y símbolo de Christoffel de segunda especie

Question

Necesito demostrar la siguiente identidad. $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ es abierto y $g$ es una métrica de campo en $\Omega$. Más $\Gamma_{\,kl}^j$ denota el símbolo de Christoffel de segundo tipo. $g^{ij}$ es la inversa de la matriz a $g_{ij}$ $g$ denota el determinante.

$$ \Gamma_{\,jl}^j = \frac{\partial}{\partial x^l} \log \sqrt{\vert g \vert} $$

Aquí es lo que tengo hasta ahora: $$ \Gamma^j_{\;jl} = \frac{1}{2} g^{jk} \left( \frac{\partial }{ \partial x^l} g_{kj} + \frac{\partial}{ \partial x^j} g_{kl} - \frac{\partial}{ \partial x^k} g_{jl} \right) = \frac{1}{2} g^{jk} \frac{\partial }{ \partial x^l} g_{kj} $$

El segundo y el tercer término se cancelan uno al otro. Ahora como se indica aquí (se trata de la sexta ecuación, después de la línea que comienza con "La contratación de las relaciones..."

$$ \frac{1}{2} g^{jk} \frac{\partial }{ \partial x^l} g_{kj} = \frac{1}{2 g} \frac{\partial}{ \partial x^l} g = \frac{\partial}{ \partial x^l} \log \sqrt{\vert g \vert} $$

No entiendo el último segundo paso. Yo sospecho que tiene algo que ver con la fórmula de Laplace y la Regla de Cramer. Sin embargo, me parece que no ser capaz de averiguar, la derivación es que me molesta.

Las sugerencias se agradece!

Answer 1

Primero la mancha método: escribir $\bar g_{ik}$ para el valor de $g_{ik}$ al $x^l = \bar x^l$ (por lo $\bar g_{ik}$ es constante). Deje $x^l$ ser una función de la $\epsilon$ que es una perturbación de $\bar x^l$, por lo que el$x^l = \bar x^l$$\epsilon=0$.

Vamos $$h_{ij} = \bar g^{ik} g_{kj} . \tag1$$ Then $h_{ij}$ is a perturbation of the identity: $$h_{ij} = \delta_{ij} + \epsilon \frac{\partial h_{ij}}{\partial \epsilon} + o(\epsilon).$$ Entonces es fácil de calcular, que $$ \frac{\partial h}{\partial \epsilon} = \frac{\partial h_{ii}}{\partial \epsilon} + o(\epsilon)$$ Diferenciar $(1)$ con respecto al $\epsilon$ $$ \frac{\partial h_{ii}}{\partial\epsilon} = \bar g^{ik} \frac{\partial g_{ki}}{\partial \epsilon} $$ También se $h = \bar g^{-1} g$. Por lo tanto $$ \bar g^{-1} \frac{\partial g}{\partial \epsilon} = \bar g^{ik} \frac{\partial g_{ki}}{\partial \epsilon} + o(\epsilon). $$ En particular, en $\epsilon = 0$ podemos quitar las rayas discontinuas superiores, y obtenemos: $$ g^{-1} \frac{\partial g}{\partial \epsilon} = g^{ik} \frac{\partial g_{ki}}{\partial \epsilon}. $$

A continuación el camino directo: así $$g = \sum_\pi\sigma(\pi) \prod_i g_{i\pi(i)}.$$ Here the sum is over permutations $\pi$ of $\{1,\puntos,n\}$. Entonces $$\frac{\partial g}{\partial x^l} = \sum_\pi \sigma(\pi \sum_i \frac{\partial g_{i\pi(i)}}{\partial x^l} \prod_{j \ne i} g_{j\pi(j)} \\ =\sum_{ik} \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\sum_{\pi:\pi(i)=k} \prod_{j\ne i}\sigma(\pi) g_{j\pi(j)} \\ =\sum_{ik} \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} g \ g^{ki}. $$