Función diferenciable y analítica

Question

Tengo la siguiente función y estoy tratando de encontrar si es diferenciable y analítica. Uso de cauchy-riemann para probarlo.

$$ f(x) = x^2 -x+y+i(y^2-5y-x)$$

$$u(x,y) = x^2-x+y$$ $$v(x,y) = y^2-5y-x$$

$$u_x = 2x-1$$ $$u_y = 1$$ $$v_x= -1$$ $$v_y= 2y-5$$

Como un resultado $$u_y = -v_x \Rightarrow 1 = -(-1) \Rightarrow 1 = 1$$ and $% $ $u_x \neq v_y\Rightarrow y = x+2$

Me preguntaba si podemos decir que hay algunas regiones que la función es diferenciable o analítica.

Answer 1

Esta función es incapaz de satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann y es por lo tanto no es diferenciable complejo.

Answer 2

$h(x,y)=U(x,y)+iV(x,y)$

Si $\partial_{x}(U(x,y))=\partial_{y}(V(x,y))$ y $\partial_{y}(U(x,y))=-\partial_{x}(V(x,y))$ entonces la función se pueden expresar como $h(x,y)=U(x,y)+iV(x,y)=f(z)=f(x+iy)$

Por ejemplo

$h(x,y)=e^{x}\cos(y)+ie^{x}\sin(y)$ luego

$U(x,y)=e^{x}\cos(y)$

$V(x,y)=e^{x}\sin(y)$

$\partial_{x}(U(x,y))=e^{x}\cos(y)$

$\partial_{y}(U(x,y))=-e^{x}\sin(y)$

$\partial_{x}(V(x,y))=e^{x}\sin(y)$

$\partial_{y}(V(x,y))=e^{x}\cos(y)$

$\partial_{x}(U(x,y))=\partial_{y}(V(x,y))$ y $\partial_{y}(U(x,y))=-\partial_{x}(V(x,y))$

Así se puede expresar como $h(x,y)$ $h(x,y)=f(z)=f(x+iy)$

Realmente si controlamos $h(x,y)=e^{x}\cos(y)+ie^{x}\sin(y)=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y))=e^{x}e^{iy}=e^{x+iy}=e^{z}$

$h(x,y)=f(z)=e^{z}$