Resolución del functor de imagen directa

Question

Dejemos que $i: X \to Y$ sea una incrustación de variedades complejas compactas (no necesariamente proyectivas) y $E\to X$ un haz vectorial holomorfo. He visto que la gavilla imagen directa $i_* E$ tiene una resolución por haces vectoriales holomorfos en $Y$ . ¿Existe una manera agradable y limpia de construir esta resolución? ¿O una buena referencia donde se discuta esto?

Answer 1

Edición: La mayor parte de mi respuesta era una total tontería, así que me deshice de ella, pero creo que este párrafo sigue siendo cierto y sigue respondiendo a tu pregunta.

Voy a dar una respuesta considerándolas como variedades propias sobre $\mathbb{C}$ . Estoy bastante seguro de que esto debería ser cierto también en el caso holomórfico (quizás por GAGA aunque no puedo decir que lo entienda).

De forma más general, supongamos que tenemos cualquier morfismo de variedades compactas complejas $f:X \to Y$ y cualquier gajo coherente $\mathcal{F}$ en $X$ . De nuevo, $f$ es adecuado ya que $X$ y $Y$ son correctos. Por lo tanto, el pushforward $f_*\mathcal{F}$ es coherente en $Y$ . El excerso III.6.8 de Hartshorne nos garantiza la existencia de una resolución por gavillas localmente libres y el teorema de syzygy de Hilbert nos garantiza que es finita.

Para las referencias, véase este MO quetsion.