Es verdad o no: si$u(z)$ es armónico,$u(\overline{z})$ también es armónico.

Question

Es verdad o no: si$u(z)$ es armónico,$u(\overline{z})$ también es armónico.

Mi intento:

$u(z)=u(x,y)$ es armónico Define$s=-y$

Let$U := u(\overline{z})=u(x,-y)=u(x,s)$: $$\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x} \Rightarrow \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ $ And$$ \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial y} = - \frac{\partial u}{\partial s} Similar $$\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}= \left[ \frac{\partial }{\partial y} ( \frac{\partial U}{\partial y}) \right] =- \left[ \frac{\partial }{\partial y} ( \frac{\partial u}{\partial s}) \right] = ... = - \left[ - \frac{\partial }{\partial s} ( \frac{\partial u}{\partial s}) \right] = \frac{\partial^2 u}{\partial s^2} $ $ Therefore$$ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial s^2}= 0 \ \ \ (*)

Por lo tanto,$u(\overline{z})$ también es armónico.

* Mi pregunta es: ¿mi intento es problemático? ¿Necesita$(*)$ justificación? *

Answer 1

Permita que$f(z)$ sea una función que sea analítica en el dominio dado y tal que$\mbox{Re}(f)=u$. Entonces$\overline{f(\bar{z})}$ es Analytic y$\mbox{Re}(\overline{f(\bar{z})})=u(\bar{z})$. Por lo tanto,$u(\bar{z})$ es armónico.

La prueba de que$\overline{f(\bar{z})}$ es Analytic es simple: de la definición de derivada se desprende inmediatamente que si$f$ es diferenciable en$z_0$, entonces$\overline{f(\bar{z})}$ es diferenciable en$\bar{z_0}$

Answer 2

Una función por $\phi$es armónica si

$$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0$$

Se puede demostrar que $$\frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \bar{z}}$$

Esto significa que para una función de una variable compleja para ser armónica debe ser una analítica de la función de sólo $z$ o de una analítica de la función de sólo $\bar{z}$. Analítica, de modo que la derivada existe y una función de sólo uno o el otro de modo que el resultado es cero.

Esto significa que la parte real y la parte imaginaria de dicho analítica de la función de cada uno será armónico de las funciones de

---

El siguiente es verdadero sólo si $f(z)$ es real cuando se $z$ es real

Tenga en cuenta que muchos casos no hay nada nuevo que se gana en lo que es una función de $\bar{z}$, ya que para ciertas funciones analíticas que esto es equivalente a tomar el complejo conjugado.

$$f(\bar{z}) = \overline{f(z)} = \overline{u(x,y)+iv(x,y)} = u(x,y)-iv(x,y)$$

Así que no podemos conseguir, fundamentalmente, nuevas soluciones para la ecuación de Laplace.

---

Para la obtención de la primera igualdad tenga en cuenta que cuando una función es analítica en un barrio de un punto, hay un desarrollo en serie de Taylor que converge a la función en el conjunto abierto que contiene a dicho punto. Esto nos permite escribir,

$$f(z) = \sum_{n=0}^N a_n z^n + R_N(z)$$

Donde $R_N \rightarrow 0$ $N \rightarrow \infty$

$$\overline{ f(z) } = \overline{\sum_{n=0}^N a_n z^n + R_N} = \overline{\sum_{n=0}^N a_n z^n} + \overline{R_N} = \sum_{n=0}^N \overline{a_n} (\overline{z})^n + \overline{R_N}$$

Desde $\vert \overline{R_N} \vert = \vert R_N \vert$ podemos concluir que $\overline{R_N} \rightarrow 0$ siempre $R_N$. Si el coefficientes $a_n$ son reales , entonces podemos escribir $\overline{a_n} = a_n$ y a la conclusión de que,

$$\overline{f(z)} = \sum_{n=0}^\infty a_n (\overline{z})^n = f(\bar{z})$$