Integrando, el$\int_0^\infty \frac{\text{ d}x}{x^2\ln x+1}$

Question

Estoy tratando de encontrar un formulario cerrado para

ps

Mi táctica habitual de diferenciación parcial en la integral (Mellin) no funciona aquí debido a ese molesto +1

Answer 1

No está cerca de ninguna forma para esta integral. Sin embargo, Mathematica dice que hace converger a este resultado:

$$2.0313(...)$$

Esta integral es sin embargo un problema en muchas maneras. Primero de todo, no podemos evaluar con métodos estándar de la integración. Podemos intentar, por ejemplo, para dividir en

$$\left(\int_0^1 + \int_1^{+\infty}\right) \frac{\text{d}x}{x^2\ln(x) + 1}$$

La primera es evaluables mediante el uso de la Serie Geométrica:

$$\int_0^1 \text{d}x\left(1 - x^2\ln(x) + x^4\ln^2(x) - \cdots \right)$$

Hacer la sustitución

$$\ln(x) = y ~~~~~~~ \text{d}x = e^y\ \text{d}y$$

$$\int_{-\infty}^0\ \text{d}y\ e^y\left(1 - e^{2y}y + e^{4y}y^2 + \cdots \right)$$

$$\int_0^{+\infty}\ \text{d}y\ e^{-y}\left(1 + y e^{-2y} + y^2e^{-4y} + \cdots \right)$$

Los integrales son evaluables en la misma forma con la ayuda de la Función Gamma, y obtendrá

$$\Gamma(1) + \frac{1}{3^2}\Gamma(2) + \frac{1}{5^3}\Gamma(3) + \cdots$$

Podemos adivinar fácilmente la inherente de la serie que iba a surgir con más y más términos, a saber:

$$\sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^{k+1}}\Gamma(k+1)$$

Los primeros términos son

$$1 + \frac{1}{9} + \frac{2}{125} + \frac{6}{2401} + \frac{24}{59049} + \frac{120}{1771561} + \cdots \approx 1.1301$$

No tengo ninguna razón para pensar que la serie converge a ese número, pero seguro que la serie no converge. Sin embargo, una integración numérica sobre la primera integral con Mathematica nos da ese número como resultado. Así que mi método es correcto, para esto.

Esto es lo que usted puede hacer para la primera integral.

Ahora, la segunda es realmente mal

$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2\ln(x) + 1}\ \text{d}x$$

De hecho, no podemos utilizar una Serie Geométrica. Un intento de hacer que muestran una divergencia. De acuerdo con Mathematica, el resultado final es el de arriba me escribió, y esto significa que

$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2\ln(x) + 1}\ \text{d}x = 2.0313 - 1.1301 = 0.9012$$

De hecho, actualmente tengo ni idea acerca de cómo proceder para esta integral. Es, sin duda, algo hermoso, pero tengo que pensar más.

Todo esto es, por el momento.