¿Cuándo se puede sacar la raíz enésima de un número negativo?

Question

Para este problema sólo me preocupa la solución real, no la compleja. No se puede tomar la raíz cuadrada de un número negativo, pero se puede tomar la raíz cúbica de un negativo.

Para la fracción, siempre que la potencia sea una fracción reducida y el denominador sea impar, se puede tomar la potencia de un número negativo.

¿Y para una potencia irracional, como $\sqrt{2}$ ? ¿Existe una respuesta real a $(-2)^{\sqrt{2}}$ . No puedo decirlo porque no se puede reescribir como una fracción reducida.

Answer 1

Un número negativo tiene un real $n$ -ésima raíz si y sólo si $n$ es impar.

De forma más general, para los números complejos $x$ y $y$ , $x^y$ es una función multivaluada con valores $\exp(y \log x)$ para cualquier rama de $\log x$ . En particular, si $x < 0$ y $y$ es real, los valores de $\log x$ son $\log |x| + \pi i n$ para los enteros Impares $n$ y hay un valor real de $x^y$ si y sólo si $y n$ es un número entero para algún impar $n$ . Así, $y$ debe ser un número racional, $p/q$ en términos mínimos, cuyo denominador $q$ es impar.

Answer 2

Supongamos que consideramos $x^p$ con $p$ real y $x$ un número real negativo. Tenemos $x = -r$ con $r>0$ por lo que la forma polar de $x$ es $x = r e^{i \pi k}$ para $k$ cualquier número entero de impar.

El exponencial (multivalente) $x^p$ se define por $r^p e^{i \pi k p}$ , donde $r^p$ es una exponencial de valor real bien definida.

Supongamos que esta exponencial es real para alguna $k$ Es decir, $e^{i \pi k p} \in \mathbb R$ . Esto se cumple si y sólo si $\pi k p$ es un múltiplo entero de $\pi$ es decir, $kp \in \mathbb Z$ . Desde $k$ es impar, y en particular no nulo, se deduce que $p$ es un número racional con denominador impar.

Answer 3

Para los naturales $n$ $\sqrt[n]{-b}$ para los negativos $-b$ sólo tiene soluciones reales si $n$ es impar.

Así que $(-b)^{\frac mn}; mn \in \mathbb Z; n\ne 0;\gcd(m,n) = 1$ sólo tendrá una definición sensata es $n$ es impar.

Y por esa razón $b^x; x \in \mathbb R$ sólo está definida para los números reales en general (es decir, para los números irracionales o racionales con denominadores pares) si $b$ es positivo.

Sólo podemos definir $b^x; x$ irracional de manera significativa como límite. (Es decir $b^x = \lim b^q$ donde $q \in \mathbb Q$ y $\lim q = x$ Y $\lim b^q $ existe. Esto es no el caso si $b < 0$ .) O en términos de logaritmos naturales $x^a = e^{a\ln x}$ después de definir de alguna manera $e$ y $\ln$ . O algún tercer método equivalente. En cualquier caso, si $b < 0$ simplemente no tenemos nada que sea consistente cuando $(-b)^q$ puede saltar de positivo a negativo hasta infinitas veces en cualquier intervalo de $x$ .

Por supuesto, con raíces complejas. La definición $b^x = e^{x\ln b}$ y $e^{a + bi} = e^a*(\cos b + i \sin b)$ media $(-b)^x$ puede casualmente tener valores reales a pesar de no tener ninguna definición significativa en los reales.