Demuestre que la función $f$ tiene una extensión continua a $[a,b]$ si $f$ es uniformemente continua en $(a,b)$

Question

Dejemos que $E \subset F \subset X$ y $f:E\rightarrow Y$ . Decimos que la función $g:F\rightarrow Y$ es una extensión de $f$ si $g(x) = f(x)$ para todos $x \in E$ .

Dejemos que $f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ . Demostrar que $f$ tiene una extensión continua a $[a, b]$ si y sólo si $f$ es uniformemente continua en $(a, b)$ .

$(X,d)$ es un espacio métrico.

Pista: Para demostrar $\Leftarrow$ empezar por demostrar que $f$ mapea secuencias de Cauchy a secuencias de Cauchy. Entonces, ¿cómo se debe definir $g(a)$ y $g(b)$ ?

El $\Rightarrow$ La parte de la prueba era bastante sencilla, pero incluso con la pista, el otro camino parece un poco difícil. ¿La primera parte de la "pista" no se deduce de la forma en que definimos $f$ ? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo? Se agradece la ayuda/sugerencias.

Answer 1

Una función continua no necesariamente mapea secuencias de Cauchy a secuencias de Cauchy; considere, por ejemplo, la función $f(x)=\frac1x$ en $(0,1)$ que mapea la secuencia de Cauchy $\langle 2^{-n}:n\in\Bbb Z^+\rangle$ a la secuencia muy no Cauchy $\langle 2^n:n\in\Bbb Z^+\rangle$ . Pero las funciones uniformemente continuas mapean secuencias de Cauchy a secuencias de Cauchy. Para demostrarlo, supongamos que $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ en $(a,b)$ es Cauchy, y dejemos que $\epsilon>0$ . Hay un $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ siempre que $x,y\in(a,b)$ y $|x-y|<\delta$ y hay un $m\in\Bbb N$ tal que $|x_k-x_n|<\delta$ siempre que $k,n\ge m$ , así que ... ?

Ahora dejemos que $\sigma=\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ sea una secuencia en $(a,b)$ convergiendo a $a$ . Claramente $\sigma$ es Cauchy, así que por la pista $\langle f(x_n):n\in\Bbb N\rangle$ es Cauchy. $\Bbb R$ está completo, por lo que $\langle f(x_n):n\in\Bbb N\rangle$ converge a algún $c\in\Bbb R$ ; esto $c$ es el candidato natural para $g(a)$ . De la misma manera se puede encontrar un candidato natural $d$ para $g(b)$ y sólo queda demostrar que la función

$$g:[a,b]\to\Bbb R:x\mapsto\begin{cases} c,&\text{if }x=a\\ f(x),&\text{if }x\in(a,b)\\ d,&\text{if }x=b \end{cases}$$

es continua en $a$ y $b$ .

Answer 2

Es mucho más cierto: si $D$ es un subconjunto denso de un espacio métrico $X$ , $Y$ es un espacio métrico completo y $f\colon D\to Y$ es uniformemente continua, entonces $f$ admite una extensión (única) a un mapa (uniformemente) continuo $\hat{f}\colon X\to Y$ .

Este es un resultado clave en la teoría de los espacios métricos, que tiene varias aplicaciones. Por ejemplo, un mapa lineal continuo desde un subespacio denso de un espacio de Banach $X$ a un espacio de Banach $Y$ puede extenderse a un mapa lineal continuo desde $X$ a $Y$ así, por ejemplo, se puede definir un elemento del dual topológico de $X$ definiéndolo en un subespacio denso.

La prueba consiste, como en la respuesta de Brian M. Scott, en observar que si $f\colon D\to Y$ es uniformemente continua, entonces mapea secuencias de Cauchy a secuencias de Cauchy. Así que la extensión está definida de forma natural y todo lo que se necesita es demostrar que la extensión es continua.

Así que estos son los pasos:

1. Si $x\in X$ hay una secuencia $(x_n)$ en $D$ convergiendo a $x$ Entonces $(f(x_n))$ es una secuencia de Cauchy en $Y$ y así converge a algún punto $y$ .

2. Si $(x'_n)$ es otra secuencia en $D$ convergiendo a $x$ entonces ambos $(f(x_n))$ y $(f(x'_n))$ convergen a $y$ .

3. Podemos definir $\hat{f}(x)=y$ debido a los resultados anteriores.

4. Si $x\in D$ entonces $\hat{f}(x)=f(x)$ considerando la secuencia constante.

5. $\hat{f}$ es continua en $x$ .

La unicidad es obvia, porque dos extensiones deben coincidir en un subconjunto denso. La continuidad uniforme de $\hat{f}$ también es fácil de mostrar.