Encontrar kernel y rango de transformación lineal

Question

Se nos da:

Encontrar $\ker(T)$, e $\textrm{rng}(T)$ donde $T$ es la transformación lineal dada por

$$T:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$$

con la norma de la matriz

$$ A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3\\ 5 & 6 & -4\\ 7 & 4 & 2\\ \end{array}\right]\textrm{.} $$

El kernel se puede encontrar en un $2 \times 2$ matriz de la siguiente manera:

$$ L = \left[\begin{array}{rrr} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right] = (a+d) + (b+c)t $$

A continuación, para encontrar el núcleo de $L$ hemos creado

$$(a+d) + (b+c)t = 0$$ $$d = -a$$ $$c = -b$$

para que el núcleo de $L$ es el conjunto de todas las matrices de la forma $$ A = \left[\begin{array}{rrr} a & b\\ -b & -a\\ \end{array}\right] $$

pero no sé cómo aplicar a este problema.

Answer 1

$$ A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3\\ 5 & 6 & -4\\ 7 & 4 & 2\\ \end{array}\right] $$ Considere la posibilidad de un lineal mapa representado como un $m × n$ matriz $A$ . El núcleo de esta lineal mapa es el conjunto de soluciones de la ecuación de $Ax = 0$ $$ ker(A)=\{x \in R^n|Ax=0\} $$ $$ det(A)=1(12+16)-(-1)(10+28)+3(20-42)=0 $$ Desde $det(A)=0$ , $x\ne0$ y $0$ es un vector de aquí. $$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3\\ 5 & 6 & -4\\ 7 & 4 & 2\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{r} a\\b\\c \end{array}\right] =\left[\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right] $$ En la fila-forma reducida, $$ A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & \frac{14}{11}\\ 0 & 1 & \frac{-19}{11}\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right] $$ $$x=\frac{-14}{11}z$$ $$y=\frac{19}{11}z$$ $$ \left[\begin{array}{r} a\\b\\c \end{array}\right] =\left[\begin{array}{r} -14\\19\\11 \end{array}\right]z $$ Asimismo, para $2×2$ matriz .

Answer 2

Para el rango (T), solo la fila reduce A a la forma Echelon, los vectores restantes que no son cero son la base para el espacio de rango de T.