Encontrar el núcleo y el rango de una transformación lineal

Question

Se nos da:

Encuentra $\ker(T)$ y $\textrm{rng}(T)$, donde $T$ es la transformación lineal dada por

$$T:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$$

con matriz estándar

$$ A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3\\ 5 & 6 & -4\\ 7 & 4 & 2\\ \end{array}\right]\textrm{.} $$

El kernel se puede encontrar en una matriz $2 \times 2$ de la siguiente manera:

$$ L = \left[\begin{array}{rrr} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right] = (a+d) + (b+c)t $$

Luego, para encontrar el kernel de $L$ establecemos

$$(a+d) + (b+c)t = 0$$ $$d = -a$$ $$c = -b$$

así que el kernel de $L$ es el conjunto de todas las matrices de la forma $$ A = \left[\begin{array}{rrr} a & b\\ -b & -a\\ \end{array}\right] $$

pero no sé cómo aplicarlo a este problema.

Answer 1

$$ A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3\\ 5 & 6 & -4\\ 7 & 4 & 2\\ \end{array}\right] $$ Considere un mapa lineal representado como una matriz de $m×n$ $A$. El núcleo de este mapa lineal es el conjunto de soluciones de la ecuación $Ax = 0$ $$ ker(A)=\{x \in R^n|Ax=0\} $$ $$ det(A)=1(12+16)-(-1)(10+28)+3(20-42)=0 $$ Dado que $det(A)= 0$, $x\ne0$ y $0$ es un vector aquí. $$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3\\ 5 & 6 & -4\\ 7 & 4 & 2\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{r} a\\b\\c \end{array}\right] =\left[\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right] $$ En forma escalonada por filas, $$ A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & \frac{14}{11}\\ 0 & 1 & \frac{-19}{11}\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right] $$ $$x=\frac{-14}{11}z$$ $$y=\frac{19}{11}z$$ $$ \left[\begin{array}{r} a\\b\\c \end{array}\right] =\left[\begin{array}{r} -14\\19\\11 \end{array}\right]z $$ De manera similar para una matriz de $2×2$ .

Answer 2

Para el rango (T), simplemente reduce la fila de A a forma escalonada, los vectores no nulos restantes son la base para el espacio de rango de T.

Answer 3

Para encontrar el rango (imagen) de T, primero encuentra la traspuesta de la matriz y luego reduce la matriz traspuesta a una forma escalonada, la matriz no nula restante se convierte en la base para el rango y la dimensión se convierte en la clasificación