En mi mecánica cuántica clase, mi profesor explicó que el Hamiltoniano junto con la posición y el impulso a los operadores pueden ser representados por matrices de contables dimensión. Esto es especialmente útil en el oscilador armónico problemas. Mi profesor explicó que los autovalores del Hamiltoniano son (por supuesto) el discreto permitido energías del sistema, mientras que los valores propios de la posición del operador son todas las posiciones posibles, como un continuo. ¿Cómo puede una contables de la matriz tienen un incontable número de autovalores? ¿Por qué el Hamiltoniano y la posición del operador tienen la misma dimensión, pero diferente número de autovalores?
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martinatime
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Luboš Motl la respuesta ha moralmente correcto física, aunque puede ser de utilidad para hacer una ilustración en términos de la matemática básica en la de introducción de la mecánica cuántica. Como un ejemplo, tomar un spinless partícula en una dimensión.
La posición de autoestados en la posición-representación del espacio formalmente permite construir cualquier función: $$f(x) = \int c_{x'} \delta(x-x')\,\mathrm{d}x'\text{,}$$ y tiene innumerables libertad en la especificación de la una cantidad no numerable de los coeficientes de $c_{x'}$. Sin embargo, la mayoría de esta libertad es ilusoria, porque el $L^2$ producto interior $$\langle f|g\rangle = \int f^*(x)g(x)\,\mathrm{d}x$$ es incapaz de distinguir las funciones cuya diferencia se ha de fuga norma cuadrado: $$||f-g||^2 = \langle f-g|f-g\rangle = 0\text{.}$$ Cualquiera de las dos funciones que sólo difieren en un número finito o contable conjunto va a hacer, pero esto también es posible, incluso para funciones diferentes en una multitud innumerable, mientras que el conjunto tiene medida cero.
El uso de la de Cauchy-Schwarz desigualdad, se puede demostrar fácilmente que para un par de funciones, dado cualquier $h\in L^2$, $\langle f-g|h\rangle = 0$. En otras palabras, dicha diferencia no puede tener ningún significado físico, ya que ambos de ellos va a predecir exactamente las mismas probabilidades en cada situación concebible en la mecánica cuántica.
Si uno insiste en las matemáticas, estamos recorte hacia abajo el espacio de las funciones en el espacio de clases de equivalencia de funciones. En general nos quieren sólo lo suficientemente suave" de las funciones, pero en realidad mera continuidad (con en la mayoría de los countably muchas excepciones): funciones continuas es determinada por sus valores en los racionales, o en cualquier otro contables que es denso en los reales.
Hay, sin embargo, un matemático adicional la razón por la que no debemos esperar una contradicción en el primer lugar: fundamentalmente, el "continuo" hecho por Dirac es una bestia diferente de la contable "Schauder base" que construye vectores como una serie, y dos de ellos son diferentes a los de la "base de Hamel" que uno aprende en la clase de álgebra lineal que se construye vectores de finitely muchos de los elementos de la base. No hay ningún problema en tener diferentes cardinalidades de por sí, porque son cosas muy diferentes.
En particular, la mecánica cuántica requiere el complejo espacio de Hilbert a ser separables, es decir, habrá una contables ortonormales Schauder base para un infinito espacio tridimensional. Esto es lo que el Señor Motl significa cuando dice que "todos infinitamente dimensiones de los espacios son isomorfos a cada uno de los otros", ya que sólo puede hacer un isomorfismo isométrico por sólo re-asignación de los vectores en sus respectivas bases.
En esto, él es físicamente correcto, a pesar de que en las matemáticas hay un complejo de Hilbert espacios que no son separables.
Así que estos operadores tienen un incontable número de funciones propias que corresponden a un contable número de clases de equivalencia?
Bueno... no del todo. Dicen que tomar la posición y el impulso de los operadores. En la posición-representación del espacio, se ven como $\delta(x-a)$$e^{ipx}$. Evidentemente hay algo matemáticamente extraño acerca de este último en el contexto de nuestro espacio de Hilbert, a pesar de que físicamente es un simple plano de onda ... no es normalizable, y por lo tanto no puede ser parte del espacio de Hilbert adecuada. Aunque el uso de ellos como base es la aplicación de una transformada de Fourier, por lo que debe de hacer sentido usarlo. Como para los anteriores, ya que usted está preocupado acerca de formal matemático de problemas, tiene que creer que los matemáticos cuando te dicen que la delta de Dirac no es estrictamente hablando incluso de una función.
Quiero enfatizar que están perfectamente bien autoestados, aunque, y que el uso de ellos no tiene sentido. Sólo tenemos que ser más matemáticamente preciso, si queremos desentrañar formal de la matemática cuestiones como las cardinalidades.
Así que echemos un vistazo hacia abajo el agujero del conejo de análisis funcional. A(n anti-) lineal funcional es un(n anti- )mapeo lineal entre los vectores en el espacio de Hilbert a su campo, aquí los números complejos. Un ejemplo trivial de: elegir un fijo $v\in\mathcal{H}$. A continuación, el mapa de $w\mapsto\langle w|v\rangle$ es un antilinear funcional y el mapa de $w\mapsto\langle v|w\rangle$ es lineal y funcional. Otro ejemplo es el $\delta[f] = f(0)$, lo que obviamente es lineal ($\delta[\alpha f+\beta g] = \alpha\delta[f]+\beta\delta[g]$) y le da un escalar.
Así que todos los vectores en el espacio de Hilbert generar (anti)lineal funcionales. Lo contrario es sólo parcialmente cierto: todas continua (anti)lineal funcionales corresponden a los vectores, por la representación de Riesz teorema. Así que si queremos ser formal, sostenes son funcionales lineales sobre nuestro espacio de Hilbert y tfe son antilinear funcionales, y sólo algunos de ellos, corresponden en realidad a un vector en el espacio de Hilbert. Esta cobertura como parte de la "aparejado el espacio de Hilbert" formalismo que he mencionado en los comentarios.
Por lo tanto, no hay ningún problema matemático a todos con tener un sinnúmero de forma continua, mientras que al mismo tiempo haber una contables base de Schauder. Ellos sirven a la misma clase de física propósito, pero matemáticamente, simplemente son cosas diferentes: la base de Schauder de "la vida" directamente en el espacio de Hilbert, pero el continuo de la "vida" en el dual algebraico de nuestro espacio de Hilbert, es una base de los estados que no son necesarios para ser vectores, sino simplemente funcionales.
Los contables e incontables infinitos son "diferentes cardenales" de acuerdo a la teoría de conjuntos, pero en la física, las bases de ese tamaño producir igualmente grandes espacios de Hilbert: Hilbert-el espacio es infinito-dimensionales y de todas las dimensiones infinitas de Hilbert espacios son isomorfos entre sí (en otras palabras, no es sólo "una sola especie de infinito" cuando se trata de la dimensión de un espacio de Hilbert). La mecánica cuántica ofrece una infinidad de ejemplos.
Tal vez el ejemplo más sencillo son las transformadas de Fourier de las expansiones. Considere una partícula en un infinito bien, así que la función de onda $\psi(x)$ sólo es distinto de cero para $0\lt x \lt +\pi$. El operador $x$ tiene un espectro continuo, es decir, un incontable número de autovalores y autoestados (la base de la $x$-autoestados es incontable).
Por otro lado, el operador $p^2 = -\hbar^2 \partial^2 / \partial x^2$ tiene una discreta del espectro y una contables conjunto de autovalores y autoestados. Los autoestados son ondas estacionarias $\sin (nx)$ por entero positivo $n$ y los valores propios son $n^2$.
Sin embargo, todo ("lo suficientemente suave" y/o $L^2$-normalizable, etc.) la función $\psi(x)$ que es distinto de cero en el intervalo – cada combinación de una cantidad no numerable de funciones de onda $\psi(x) = \delta(x-x_0)$ – también puede ser escrito como una combinación lineal de las ondas estacionarias, $\sin(nx)$. Este hecho es lo que hace que la serie de Fourier posible. (Normalmente, me gustaría hablar acerca de las funciones periódicas y exponenciales complejas, pero los senos en un bien puede ser más principiante de usar.)
Realmente no hay ninguna contradicción con las diferentes cardinalidad de los conjuntos, ya que los dos conjuntos, los innumerables base de $x$ autoestados y los contables base de la $p^2$ autoestados, no se identificaron a través de un uno-a-uno el mapa. En su lugar, el mapa entre uno y el otro es una transformación lineal que mezcla, y la cardinalidad diferente no impone restricciones sobre tales transformaciones lineales de dimensiones infinitas espacios vectoriales.
Muy general, los números cardinales (la ciencia para distinguir muchos tipos), así como la mayoría de otros relacionados con los resultados en la teoría de conjuntos (me refiero especialmente Gödel de teoremas) son completamente intrascendente en la física. Son sólo algunos de los "recreativos sutilezas" en la lógica matemática y la física no encontrar ninguna de estas operaciones pertinentes. Así que un físico puede hacer el estado-de-la-arte de la teoría de cuerdas y la interpretan en todos los rincones de la física aún sin "saber" que los números reales son innumerables. El uncountability es no físico. Un físico es generalmente agnóstico acerca de la existencia de los números reales que no pueden ser construidos, acerca de la validez del axioma de elección, y otros problemas que no pueden ser operativamente a cabo un experimento. Un físico reacción típica es que estas preguntas son "filosofía" – son empíricamente indecidible (sabemos que el axioma de elección es indecidible incluso en las grandes axiomática de los sistemas de la teoría de conjuntos) para que él no se preocupa de las respuestas.
Steve
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Esta pregunta es algo relacionado con la investigación que he utilizado para hacerlo yo pensaba que iba a poner mi granito de arena en.
Cuando se construye una representación de la matriz del Hamiltoniano operador tiene que escoger una base. Normalmente, esto sería una contables base de los elementos de los cuales son de cuadrado integrable. Lo que usted necesita es darse cuenta de que cuando usted haya hecho esto, usted tiene restringida la eficacia de la representación de la matriz.
Como un ejemplo concreto podría pensar en lo que sucede cuando usted utiliza las soluciones de la 1-D oscilador armónico como una base (por ejemplo, los polinomios de Hermite veces una gaussiana). Que funciones de base sería entonces de la forma,
$$ f_n(\xi) = H_n(\xi) e^{-\xi^2/2}. $$
Ahora usted puede construir elementos de la matriz para un determinado Hamiltoniano de la forma habitual,
$$ H_{n,m}=\langle{f_n \mid Hf_m}\rangle, $$
pero estos elementos de la matriz de sólo codificar lo que el Hamiltoniano va a hacer a las funciones que puede ser representado por su elegido. En nuestro caso particular el lapso de nuestras funciones de base sólo contiene cuadrado integrable funciones. Esto significa que no podemos usar estos elementos de la matriz a entender cómo el Hamiltoniano determina la dinámica de la partícula libre de los estados (al menos no sin algún tipo de modificación).
Los autovalores de obtener de este tipo de matriz de representaciones serán las energías de la envolvente de los estados. Si intenta diagonalize la energía cinética de la matriz en base a esto usted va a obtener de la basura. Con frecuencia los métodos numéricos basados en este tipo de enfoque tiene problemas cerca de la frontera de estados del continuo y los estados discretos.
