comprobando si una función es positiva usando coeficientes de Fourier

Question

Dada una función$$f(x) = \sum_{k=0}^N a_k\ \sin(k\pi x)$$ defined over the region $ S = [0, 1]$, is there some way to check if $ f (x) \ geq 0$ for all $ x \ en S$ using the coefficients $ \ {a_k; \ k \ leq N \} $? En particular, esperaba que hubiera alguna desigualdad que involucrara los coeficientes que nos permitirán verificar esto rápidamente.

Answer 1

Conozco algunos casos en los que la positividad puede ser probada. Por ejemplo, si para cada$k$,$a_k \gt 2 a_{k+1}$. Una situación más general en la que se cumple la positividad es si para algunos$s \in (0,1)$ se puede escribir$a_k=c_k s^k$ donde$c_k-(1+s)c_{k+1}+s c_{k+2} \gt 0$.