Una pregunta sobre las soluciones de$y^2 = x^3 - 4$ para$(x,y) \in \mathbf Z^2$

Question

He aquí una pregunta de un viejo documento de examen:

1. Encontrar todos los $(x,y)$ $\mathbf{Z}^{2}$ donde $y$ es impar y $y^2=x^3-4$.

2. Encontrar todos los $(x,y)$ $\mathbf{Z}^{2}$ $y$ a y $y^2=x^3 -4$.

3. Al $(x,y)$ $\mathbf{Z}^{2}$ donde $y=2Y$ es incluso y $y^2=x^3-4$, muestran que $x=2X$ $X, Y$ impar y que $\gcd(Y+i,Y-i) = 1+i$.

Un antiguo estudiante que haya tomado el examen ya nos dijo que deberíamos ver el $\mathbf{Z}[i]$ pero no veo donde ir con esta información. La ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Escribe la ecuación como$x^3=y^2+4$. En$\mathbb Z[i]$, tiene$y^2+4 = (y+2i)(y-2i)$. Cualquier divisor común de$(y+2i)$ y$(y-2i)$ debe ser un divisor de$4i$. A partir de eso y de la factorización única en$\mathbb Z[i]$, puede concluir que la mayoría de los divisores de$y\pm 2i$ son cubos. Ahora pregúntate cuándo$(a+b i)^3$ tiene una parte imaginaria igual a$2$. Esto debería ayudarte a comenzar. Aunque no he comprobado los detalles.