Teorema de Lagrange y Carácter Cuadrático de $-2$

Question

Sea $p$ un primo impar. Sabemos que el polinomio $x^{p-1}-1$ se descompone en factores lineales módulo $p$. Si $p$ es de la forma $4k+1$ entonces podemos escribir $$x^{p-1}-1=x^{4k}-1=(x^{2k}+1)(x^{2k}-1).$$ El teorema de Lagrange nos dice que cualquier congruencia de polinomios de grado $n$ módulo $p$ tiene a lo sumo $n$ soluciones. Por lo tanto, podemos deducir de esta factorización que $-1$ es un residuo cuadrático módulo $p$. De manera similar, si $p$ es de la forma $3k+1$ podemos escribir $4(x^{p-1}-1)=4(x^{3k}-1)=(x^k-1)((2x^{k}+1)^2+3)$ y deducir que $-3$ es un residuo cuadrático módulo $p.

¿Podemos demostrar de esta manera que $-2$ es un residuo cuadrático módulo $p$ si $p$ es de la forma $8k+1$ o $8k+3$?

Nota que estoy interesado solo en este método específico. Sé cómo probar esto usando diferentes medios.

Answer 1

En el caso $p = 8k + 1$, se puede escribir $$x^{p-1} - 1 = (x^{4k}-1)(x^{4k}+1) = (x^{4k}-1)((x^{2k}+1)^2+2(x^{2k})) \,.$$

Ahora, para cualquier $x$ tal que $(x^{2k}+1)^2+2(x^{2k}) = 0$, vemos que $y = (x^{2k}+1)/x^k$ satisface $y^2 = -2$.

Creo que este método falla en casos de la forma $p = 8k + 3$. Para $k=1$, el polinomio resultante a factorizar es $x^{10}-1$. Sin embargo, el campo de extensión ciclotómico correspondiente $\Bbb Q(e^{i\pi/5})$ no incluye a $\Bbb Q(\sqrt{-2})$ como subcampo (su grupo de Galois es cíclico de orden 4, con $\Bbb Q(\sqrt{5})$ como el único subcampo cuadrático), lo que creo implica que no hay una descomposición comparable para $x^{10}-1$.

Nota: mientras veía ese ejemplo, encontré que si $p$ es de la forma $5k+1$ entonces puedes factorizar $$4(x^{p-1}-1) = 4x^{5k}-4 = (x^k-1)(4x^{4k}+4x^{3k}+4x^{2k}+4x+4) =(x^k-1)((2x^{2k}+x^k+2)^2 - 5x^{2k})\,. $$ Un razonamiento similar al anterior muestra que en este caso 5 es un residuo cuadrático módulo $p$.

Answer 2

Solo un boceto por el momento, tengo la firme sensación de que las siguientes líneas pueden simplificarse enormemente.

Si $p\equiv 1\pmod{8}$ en $\mathbb{F}_p^*$ hay un elemento de orden $8$, ya que $\mathbb{F}_p^*$ es un grupo cíclico de orden $p-1$. En particular, $\Phi_8(x)=x^4+1$ se factoriza completamente sobre $\mathbb{F}_p$. Si $\alpha\in\mathbb{F}_p$ es una raíz de $\Phi_8$ tenemos $$ 0=\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)^2-2 $$ por lo tanto $\left(\frac{2}{p}\right)=1$. Ya que $p\equiv 1\pmod{4}$ también tenemos $\left(\frac{-1}{p}\right)=1$ y $-2$ es un residuo cuadrático $\pmod{p}$ ya que el símbolo de Legendre es multiplicativo. En general, el grado del campo de descomposición de $\Phi_8$ sobre $\mathbb{F}_p$ está dado por el menor $k$ tal que $8\mid (p^k-1)$. En particular, $\Phi_8$ nunca es irreducible sobre $\mathbb{F}_p$, ya que $n^2\equiv 1\pmod{8}$ se cumple para cualquier $n$ impar. Si $p$ es un primo impar $\not\equiv 1\pmod{8}$, al denotar como $i$ y $\sqrt{2}$ los elementos de $\mathbb{F}_p$ o $\mathbb{F}_p^2$ que satisfacen $\beta^2+1=0$ y $\beta^2-2=0$ tenemos que $\Phi_8$ se factoriza sobre $\mathbb{F}_p$ como el producto de dos polinomios cuadráticos irreducibles. Las raíces complejas de $\Phi_8$ vienen dadas por $\frac{\pm 1\pm i}{\sqrt{2}}$ y se mantienen iguales con la suposición anterior. El factor irreducible de $\Phi_8$ que se anula en $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ solo puede tener las siguientes formas:

$$ x^2-\sqrt{2}x+1,\qquad x^2-i,\qquad x^2-i\sqrt{2}x-1.$$ Solo tienes que mostrar que estas formas están respectivamente asociadas con $p=8k+7,8k+5,8k+3$ para tener que el caso $p=8k+7$ es el único caso en el que $2$ es un residuo cuadrático pero $p\not\equiv 1\pmod{8}$. Y esto es simple ya que por el automorfismo de Frobenius la raíz conjugada de $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ es $\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^p$.