Teorema de Lagrange y carácter cuadrático de $-2$

Question

Dejemos que $p$ sea un primo impar. Sabemos que el polinomio $x^{p-1}-1$ se divide en factores lineales módulo $p$ . Si $p$ es de la forma $4k+1$ entonces podemos escribir $$x^{p-1}-1=x^{4k}-1=(x^{2k}+1)(x^{2k}-1).$$ El teorema de Lagrange nos dice que cualquier congruencia polinómica de grado $n$ mod $p$ tiene como máximo $n$ soluciones. Por lo tanto, podemos deducir de esta factorización que $-1$ es un residuo cuadrático módulo $p$ . Del mismo modo, si $p$ es de la forma $3k+1$ podemos escribir $4(x^{p-1}-1)=4(x^{3k}-1)=(x^k-1)((2x^{k}+1)^2+3)$ y deducir que $-3$ es un residuo cuadrático mod $p$ .

¿Podemos demostrar de esta manera que $-2$ es un residuo cuadrático mod $p$ si $p$ es de la forma $8k+1$ o $8k+3$ ?

Tenga en cuenta que sólo me interesa este método específico. Sé cómo demostrarlo utilizando diferentes medios.

Answer 1

En el caso $p = 8k+1$ se puede escribir $$x^{p-1} - 1 = (x^{4k}-1)(x^{4k}+1) = (x^{4k}-1)((x^{2k}+1)^2+2(x^{2k})) \,.$$

Ahora, para cualquier $x$ tal que $(x^{2k}+1)^2+2(x^{2k}) = 0$ vemos que $y = (x^{2k}+1)/x^k$ satisface $y^2 = -2$ .

Creo que este método se rompe en casos de la forma $p= 8k+3$ . Para $k=1$ el polinomio resultante a factorizar es $x^{10}-1$ . Sin embargo, el campo de extensión ciclotómico correspondiente $\Bbb Q(e^{i\pi/5})$ no incluye $\Bbb Q(\sqrt{-2})$ como subcampo (su grupo de Galois es cíclico de orden 4, con $\Bbb Q(\sqrt{5})$ como único subcampo cuadrático), lo que creo que implica que no hay una descomposición comparable para $x^{10}-1$ .

Nota: mientras miraba ese ejemplo, descubrí que si $p$ es de la forma $5k+1$ entonces se puede factorizar $$4(x^{p-1}-1) = 4x^{5k}-4 = (x^k-1)(4x^{4k}+4x^{3k}+4x^{2k}+4x+4) =(x^k-1)((2x^{2k}+x^k+2)^2 - 5x^{2k})\,. $$ Un razonamiento similar al anterior muestra que en este caso 5 es un residuo cuadrático mod $p$ .

Answer 2

De momento es sólo un esbozo, tengo la fuerte sensación de que las siguientes líneas se pueden simplificar mucho.

Si $p\equiv 1\pmod{8}$ en $\mathbb{F}_p^*$ hay un elemento de orden $8$ ya que $\mathbb{F}_p^*$ es un grupo cíclico de orden $p-1$ . En particular $\Phi_8(x)=x^4+1$ completamente los factores sobre $\mathbb{F}_p$ . Si $\alpha\in\mathbb{F}_p$ es una raíz de $\Phi_8$ tenemos $$ 0=\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)^2-2 $$ por lo que $\left(\frac{2}{p}\right)=1$ . Desde $p\equiv 1\pmod{4}$ también tenemos $\left(\frac{-1}{p}\right)=1$ y $-2$ es un residuo cuadrático $\pmod{p}$ ya que el símbolo de Legendre es multiplicativo. En general, el grado del campo de división de $\Phi_8$ en $\mathbb{F}_p$ viene dada por el mínimo $k$ tal que $8\mid (p^k-1)$ . En particular $\Phi_8$ nunca es irreducible sobre $\mathbb{F}_p$ ya que $n^2\equiv 1\pmod{8}$ es válido para cualquier impar $n$ . Si $p$ es un primo impar $\not\equiv 1\pmod{8}$ , denotando como $i$ y $\sqrt{2}$ los elementos de $\mathbb{F}_p$ o $\mathbb{F}_p^2$ cumpliendo con $\beta^2+1=0$ y $\beta^2-2=0$ tenemos que $\Phi_8$ factores sobre $\mathbb{F}_p$ como el producto de dos polinomios cuadráticos irreducibles. Las raíces complejas de $\Phi_8$ vienen dadas por $\frac{\pm 1\pm i}{\sqrt{2}}$ y se mantienen igual con el supuesto anterior. El factor irreducible de $\Phi_8$ desapareciendo en $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ sólo puede tener las siguientes formas:

$$ x^2-\sqrt{2}x+1,\qquad x^2-i,\qquad x^2-i\sqrt{2}x-1.$$ Sólo hay que demostrar que estos formularios están asociados respectivamente a $p=8k+7,8k+5,8k+3$ tener que el $p=8k+7$ es el único caso en el que $2$ es un residuo cuadrático pero $p\not\equiv 1\pmod{8}$ . Y esto es sencillo ya que por el automorfismo de Frobenius la raíz conjugada de $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ es $\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^p$ .