Norma de K menor o igual a la norma de$\phi$

Question

El siguiente problema se me ha presentado:

Deje $k : [a, b] × [a, b] → \mathbb{F}$ ser continua, y considerar la integral operador $K : C_{\mathbb{F}}[a, b] → C_{\mathbb{F}}[a, b]$, definido por $$ Kf(s) = \int_{a}^{b} k(s, t)f(t) dt \hspace{2cm} (s ∈ [a, b], f ∈ C_{\mathbb{F}}[a, b]) $$ Definir $φ: [a, b] → \mathbb{R}$ por $$ φ(s) = \int_{a}^{b} |k(s, t)| dt (s ∈ [a, b]).$$

Demostrar que $||K|| \leq ||\phi||_{\infty}=\max_{s \in [a,b]}\{|\phi(s)|\}$.

Tengo problemas con dos partes de este problema:

1. ¿Qué $||K||$ significa? Es el supremum norma tanto en$f$$s$, de tal manera que $|K(f(s))|$ es mayor que la de cualquier otra combinación de $f$$s$$K$?

2. Al asumir que ese es el caso, que he encontrado: $$ |K(f(s))| \leq \int_{a}^{b} |k(s,t)||f(t)| dt $$ Pero, ¿cómo debo proceder? Necesito conseguir el $f(t)$ fuera de la integral, de alguna manera, necesito "separada" de la f(t) desde el resto para obtener el supremum norma de $\phi$, pero ¿cómo lo hago? Sé que $|f(x)| \leq \|f\|_{\infty}$, pero cuando se considera el supremum norma para $K$, el supremum norma de $f$ no entra en juego, ¿correcto?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

$K$ es lineal en el mapa entre la normativa espacios vectoriales, aquí supongo que usted está pensando en $C[a,b]$ como tener el sup-norma. Aquí uno se puede preguntar si o no $$\sup_{f\in C[a,b], \|f\|≤1}\|K(f)\|$$ es finito. Si es que este número es llamado el operador de la norma de $K$, la finitud de este número es equivalente a $K$ continua y a $K$ Lipschitz continua.

Es el número más pequeño de modo que $\|K(f)\|≤\|K\|\,\|f\|$) para todos los $f$.

En cuanto a tu segunda pregunta, no voy a mostrar de manera explícita, pero lo que hay que ver es por qué $$\|K(f)\|=\sup_{s\in[a,b]}\left|\int_a^b k(s,t)f(t)\,dt\right|\overset!≤\|\phi\|\,\|f\|$$ vale para cualquier $f$.