Estoy tratando de comprender lo siguiente:
Deje $C$ $n$ dimensiones mínimas de cono en $\mathbb R^{n+1}$ con vértice en a $0$ con la segunda forma fundamental $h_{ij} = h_{ji}$. (Mínimo implica $\sum_i h_{ii} = 0$)
También, vamos a $h_{ijk}$ ser los componentes de la forma definida por $$\sum_k h_{ijk} \omega_k = \mathrm d h_{ij} - \sum_k h_{ik} \, \omega_{kj} - \sum_k h_{jk} \, \omega_{ki},$$ donde todas las sumas son de $1$ a $n$, $\{\omega_1,\cdots,\omega_n\}$ son el doble de marcos a $\{e_1,\cdots,e_n\}$ $\{\omega_{ij}\}_{1\leq i,j \leq n}$ son la conexión de uno de los formularios.
Elegir un marco $\{e_1,\cdots,e_n\}$ tal que $h_{ij}$ es diagonal y $e_n$ es en la dirección radial (es decir. $e_n = x/|x|$).
Entonces tenemos $h_{ij} = h_{nn} = 0$, $i \neq j$ y $h_{ijn} = - |x|^{-1} \, h_{ij}$, $i,j = 1,\cdots,n$
Ahora entiendo que $h_{nn} = 0$ ya que en la dirección radial, el cono se ve como una línea recta.
Mi Pregunta: ¿Cómo puedo ver la segunda identidad? $$h_{ijn} = - |x|^{-1} \, h_{ij}, \quad i,j = 1,\cdots,n$$
EDITAR Así que mi idea era mirar esto \begin{align} h_{ijn} & = (\mathrm d h_{ij})(e_n) - \sum_k h_{ik} \, \omega_{kj}(e_n) - \sum_k h_{jk} \, \omega_{ki}(e_n) \\ % & = \partial_n h_{ii} \, \delta_{ij} - \Gamma^i_{nj} \, h_{ii} - \Gamma^j_{ni} \, h_{jj} \end{align}
Alguna sugerencia?