identidad para la segunda forma fundamental para conos

Question

Estoy tratando de comprender lo siguiente:

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Deje $C$ $n$ dimensiones mínimas de cono en $\mathbb R^{n+1}$ con vértice en a $0$ con la segunda forma fundamental $h_{ij} = h_{ji}$. (Mínimo implica $\sum_i h_{ii} = 0$)

También, vamos a $h_{ijk}$ ser los componentes de la forma definida por $$\sum_k h_{ijk} \omega_k = \mathrm d h_{ij} - \sum_k h_{ik} \, \omega_{kj} - \sum_k h_{jk} \, \omega_{ki},$$ donde todas las sumas son de $1$ a $n$, $\{\omega_1,\cdots,\omega_n\}$ son el doble de marcos a $\{e_1,\cdots,e_n\}$ $\{\omega_{ij}\}_{1\leq i,j \leq n}$ son la conexión de uno de los formularios.

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Elegir un marco $\{e_1,\cdots,e_n\}$ tal que $h_{ij}$ es diagonal y $e_n$ es en la dirección radial (es decir. $e_n = x/|x|$).

Entonces tenemos $h_{ij} = h_{nn} = 0$, $i \neq j$ y $h_{ijn} = - |x|^{-1} \, h_{ij}$, $i,j = 1,\cdots,n$

Ahora entiendo que $h_{nn} = 0$ ya que en la dirección radial, el cono se ve como una línea recta.

Mi Pregunta: ¿Cómo puedo ver la segunda identidad? $$h_{ijn} = - |x|^{-1} \, h_{ij}, \quad i,j = 1,\cdots,n$$

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EDITAR Así que mi idea era mirar esto $$\begin{align} h_{ijn} & = (\mathrm d h_{ij})(e_n) - \sum_k h_{ik} \, \omega_{kj}(e_n) - \sum_k h_{jk} \, \omega_{ki}(e_n) \\ % & = \partial_n h_{ii} \, \delta_{ij} - \Gamma^i_{nj} \, h_{ii} - \Gamma^j_{ni} \, h_{jj} \end{align}$$

Alguna sugerencia?

Answer 1

Ya que una de cono es radialmente auto-similar, y la curvatura (medido por la segunda forma fundamental) escalas como la inversa de la longitud, sus curvaturas en $x$ $\lambda x$ (para cualquier $\lambda > 0$) se relacionan por $$h_{ij}(\lambda x) = \lambda^{-1} h_{ij}(x)$$ if we work in a frame that is parallel in the radial direction. That is, in this frame, the components of the second fundamental form are positively homogeneous of degree $-1$.

En términos de conexión de los coeficientes, esta condición adicional en el marco traduce a$\omega_{ijn}=0;$, por lo que contamos con la simple fórmula de $h_{ijn} = \partial_n h_{ij}.$ Por Euler homogénea teorema de la función, tenemos la derivada de la fórmula $$x^k \partial_k h_{ij} = |x| h_{ijn}= -h_{ij},$$ which can be rearranged to give $h_{ijn} = -|x|^{-1} h_{ij}$ como se desee.

Finalmente, para relajar la condición adicional en el marco de añadí, tenga en cuenta que su $h_{ijn}$ es realmente la derivada covariante $\nabla_n h_{ij}$ escrito en términos de movimiento marcos; así que hemos demostrado la coordenada independiente de la ecuación de $\nabla_X h = -|x|^{-1} h$ $X$ radial de la unidad de campo vectorial, y por lo tanto $h_{ijn} = \nabla_n h_{ij} = -|x|^{-1} h_{ij}$ siempre $e_n =X$.