Cada intervalo de orden en$l^1$ es norma compacta

Question

Deje$l^1$ denotar el espacio de las secuencias$(x_n)\subset \mathbb{R}$ con$\Vert (x_n)\Vert_1:=\sum_{n\geq 1} |x_n|<\infty$. Decimos que$(x_n^1)\leq (x_n^2)$ cada vez que$x_n^1\leq x_n^2$ por cada$n\in\mathbb{N}$. Es bien sabido que$(l^1,\Vert\cdot\Vert_1)$ es un espacio de Banach.

Dado$(x_n^1),(x_n^2)\in l^1$ con$(x_n^1)\leq (x_n^2)$ definimos el intervalo de pedido

ps

Sospecho que este conjunto es norma compacta.

¿Alguna pista para probar eso?

Answer 1

Llame a $C$ este conjunto. La cercanía es bastante fácil de ver, ya que $C=\bigcap_{n\in\mathbb N}C_n$ donde $C_n=\left\{\left(y_j\right)\in\ell^1\mid x_n^1\leqslant y_n\leqslant x_n^2\right\}=L_n^{-1}\left(\left[x_n^1,x_n^2\right]\right)$ $L_n\colon \ell^1 \to \mathbb R$ es el continuo lineal funcional definido por $L_n\left( \left(y_j\right) \right)=y_n$.

Ahora, tenemos que ver si $C$ es precompact, es decir, si para todo positivo $\varepsilon$, existe un conjunto finito $F\subset C$ tal que para todos los $ \left(y_j\right)\in C$ existe $\left(y'_j\right)\in F$ tal que $\left\lVert \left(y_j\right)-\left(y'_j\right)\right\rVert_1\lt \varepsilon$. Es suficiente para tratar el caso de que $x_n^1=-x_n^2$ todos los $n$ porque $$C\subconjunto \widetilde{C}:=\left\{\left(y_j\right)\mid \forall n, - \max\left\{\left\lvert x_n^1\right\rvert,\left\lvert x_n^2\right\rvert\right\}\leqslant y_n\leqslant\max\left\{\left\lvert x_n^1\right\rvert,\left\lvert x_n^2\right\rvert\right\} \right\}.$$ Para este objetivo, fix $\varepsilon\gt 0$ y deje $R_n:=\max\left\{\left\lvert x_n^1\right\rvert,\left\lvert x_n^2\right\rvert\right\}$. Deje $N$ ser tal que $\sum_{n=N+1}^{\infty}R_n\lt \varepsilon/2$. A continuación, utilice precompactness de $\prod_{n=1}^N\left[-R_n,R_n\right]$.

Answer 2

Podemos considerar el conjunto$S=[0, (x_n)]$ solo sin pérdida de generalidad.

Dejar $(y_n^k) \in S$. Queremos mostrar que tiene una subsecuencia convergente en$S$.

Una prueba breve pero no elemental: el conjunto$S$ es compacto en la topología del producto. Por lo tanto, existe una subsecuencia convergente en puntos $(y_n^{k_m})$ con un límite$(y_n)\in S$. Por el teorema de convergencia dominado, converge en$\ell^1$.