Como se muestra en la figura: Demuestra que $a^2+b^2=c^2$

Question

Geometría: Edificios en el triángulo Otros triángulos con la misma propiedad:

$1.$ 12 18 6 12 30 102

$2.$ 15 30 15 15 15 90

$3.$ 24 30 54 24 6 42

$4.$ 30 10 40 30 20 50 (problema propuesto en sentido de las agujas del reloj)

$5.$ 36 12 6 12 18 96

$6.$ 36 18 6 36 6 78

$7.$ 42 6 36 42 12 42

$8.$ 60 6 57 30 3 24

$9.$ 60 24 12 12 6 66

Usando MATLAB podemos encontrar todos los triángulos (soluciones enteras) con esta propiedad de sumas de cuadrados:

Answer 1

Agrego las letras a tus puntos

Usando el teorema del Seno, obtenemos $$\frac{a}{\sin 30^\circ}=\frac{BD}{\sin(10^\circ+40^\circ)}=\frac{BD}{\sin 50^\circ}$$ $$\frac{BD}{\sin 40^\circ}=\frac{BA}{\sin(30^\circ+20^\circ+50^\circ)}=\frac{BA}{\sin 100^\circ}$$ así que obtenemos $$a=\left(\frac{BA\cdot\sin 30^\circ}{\sin 100^\circ\sin 50^\circ}\right)\cdot\sin 40^\circ$$ También tenemos $$\frac{b}{\sin 30^\circ}=\frac{BE}{\sin(10^\circ+40^\circ+30^\circ)}=\frac{BE}{\sin 80^\circ}$$ porque $\angle BAE=\angle BEA=70^\circ$, tenemos $$BE=BA$$ así que obtenemos $$b=\frac{BA\cdot\sin 30^\circ}{\sin 80^\circ}=\frac{BA\cdot\sin 30^\circ\cdot\sin 50^\circ}{\sin 100^\circ\cdot\sin 50^\circ}=\left(\frac{BA\cdot\sin 30^\circ}{\sin 100^\circ\sin 50^\circ}\right)\cdot\cos 40^\circ$$ Finalmente, tenemos $$\frac{c}{\sin 30^\circ}=\frac{BC}{\sin(10^\circ+40^\circ+30^\circ+20^\circ)}=\frac{BC}{\sin 100^\circ}$$ $$BC=\frac{BA}{\sin 50^\circ}$$ Entonces, tenemos $$c=\frac{BA\cdot\sin 30^\circ}{\sin 100^\circ\sin 50^\circ}$$

Dado que $$\sin^2 40^\circ+\cos^2 40^\circ=1$$

Entonces tenemos $$a^2+b^2=c^2$$

Answer 2

Pensé que este problema debería ser resoluble sin usar trigonometría. Aquí tienes una pista para una solución geométrica:

Dibuja el segmento $DG$ y deja que $B'$ sea la intersección de la línea que pasa por $AE$ y la línea perpendicular a $DG$. Afirmo que el triángulo $DB'G$ tiene lados de longitud $a,b,c$, por lo que $c^2 = a^2 + b^2$ por el teorema de Pitágoras.

Dado que la geometría es difícil de comunicar, creo que es mejor que lo descubras por ti mismo.

Answer 3

Denota la longitud del lado inferior (la hipotenusa del triángulo grande) por $h$. Luego, el lado que contiene a $c$ tiene una longitud de $h \sin 40^\circ = h \cos 50^\circ$ (¿Ves por qué?)
Ahora vamos a encontrar la longitud del segmento desde el vértice inferior derecho hasta el que está en la parte inferior de $b$ (denominémoslo $l_1$): Usando la ley de los senos, obtenemos $\frac{h \sin 40^\circ}{\sin 110^\circ} = \frac{l_1}{\sin 20^\circ}$, por lo tanto, $$l_1 = \frac{h \sin 40^\circ \sin 20^\circ}{\sin 110^\circ}$$
Denotemos por $l_2$ la longitud del segmento entre la parte inferior de $b$ y la parte inferior de $a$. Entonces $\frac{l_1 + l_2}{\sin 50^\circ} = \frac{h \sin 40^\circ}{\sin 80^\circ}$, por lo tanto, $$l_2 = \frac{h \sin 40^\circ \sin 50^\circ}{\sin 80^\circ} - l_1 = h \sin 40^\circ \left(\frac{\sin 50^\circ}{\sin 80^\circ} - \frac{\sin 20^\circ}{\sin 110^\circ}\right)$$ Ahora, podemos expresar $a, b, c$ en términos de $h$: $$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{h - l_1 - l_2}{\sin(180^\circ - 30^\circ - (180^\circ - 40^\circ - 40^\circ))} = \frac{h - l_1 - l_2}{\sin 50^\circ} \\ \frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{h - l_1}{\sin(180^\circ - 30^\circ - (180^\circ - 40^\circ - 70^\circ))} = \frac{h - l_1}{\sin 80^\circ} \\ \frac{c}{\sin 30^\circ} = \frac{h}{\sin(180^\circ - 50^\circ - 30^\circ)} = \frac{h}{\sin 100^\circ}$$ Ahora puedes simplificar todas esas expresiones y sustituir. (Para calcular los ángulos, utilicé el hecho de que la suma de los ángulos en un triángulo es $180^\circ$ y cada vez miré un triángulo diferente)