Entiendo que, en 1914, Dehn demostró que el nudo del trébol es quiral (no igual su imagen del espejo). Sin embargo, el documento en el que lo hace en alemán, y no puedo encontrar una descripción de su prueba en cualquier otro lugar. La única prueba que conozco de su quiralidad es a través del soporte de polinomio/Kauffman Jones o algo más fuerte, pero los que fueron descubiertos décadas más tarde. Así que ¿cómo fue Dehn, con las herramientas a su disposición en el momento?
Respuesta
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He aquí una traducción de: búsqueda de libros de Google o Springer-Verlag. Vea la página 200 para los traductores, notas o 203 para el comienzo del artículo.
Un muy flojo resumen: con $K$ un nudo de trébol, Dehn incorpora un (cociente de a) grafo de Cayley de a $G=\pi_1(S^3-K)$ a $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ para determinar el grupo de exterior automorfismos de a $G$, y el grupo termina siendo isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. El uso de un sistema periférico (es decir, orientado a meridian y la longitud de los bucles), que muestra la no-trivial exterior automorphism invierte la orientación del espacio ambiente.
El apéndice de la traducción contiene una más ágil de prueba para el general toro nudos, sin embargo, todavía con el mismo resultado sobre automorphism grupos; aquí te voy a dar una especialización para el trébol.
Una presentación de el trébol nudo grupo es $\langle x,y\mid x^2=y^3\rangle$ (Hatcher ch.1 tiene una prueba; se sigue por el teorema de van Kampen por el pensamiento de el trébol como estar en la superficie de un toro). El elemento $x^2$ es, sin duda, en el centro, y $G/\langle x^2\rangle$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}*\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, presentado por $\langle\overline{x},\overline{y}\mid\overline{x}^2,\overline{y}^3\rangle$. Desde este cociente no tiene un centro, el centro de $G$$Z(G)=\langle x^2\rangle$.
Deje $f:G\to G$ ser un automorphism. El centro se asigna a sí misma, por lo que tenemos un inducida por el mapa de $\overline{f}:G/Z(G)\to G/Z(G)$. Vemos a $\overline{f}(\overline{x})^2=1$$\overline{f}(\overline{y})^3=1$. Considerando reducido palabras, hay $\overline{s},\overline{t}\in G/Z(G)$ tal que $\overline{f}(\overline{x})=\overline{s}\overline{x}\overline{s}^{-1}$$\overline{f}(\overline{y})=\overline{t}\overline{y}^{\pm 1}\overline{t}^{-1}$. (Creo reducido de palabras puede ser sustituido por el pensamiento de $G/Z(G)$ actúe en su Cayley gráfico). La elección de la $\overline{s},\overline{t}$ y el exponente de $\overline{y}$ da un endomorfismo de $G/Z(G)$. Supongamos $\overline{f}$ es un automorphism. Componiendo con un interior de automorphism, podemos suponer que $\overline{f}(\overline{x})=\overline{u}\overline{x}\overline{u}^{-1}$ $\overline{f}(\overline{y})=\overline{y}^{\pm 1}$ algunos $\overline{u}$. Ya que es un automorphism, $\overline{x}$ es generado por estos dos elementos, y teniendo en cuenta las palabras se deduce que $\overline{u}=1$. Por lo tanto los automorfismos son dadas por $\overline{f}(\overline{x})=\overline{s}\overline{x}\overline{s}^{-1}$$\overline{f}(\overline{y})=\overline{s}\overline{y}^{\pm 1}\overline{s}^{-1}$$\overline{s}\in G/Z(G)$.
El centro es isomorfo a $\mathbb{Z}$, por lo que el automorphism grupo de $Z(G)$ es generado por $x^2\mapsto x^{-2}$. De nuevo, el centro se transforma en sí mismo, por lo $f(x)^2=x^{2\varepsilon}$ donde $\varepsilon=\pm 1$. Por el grupo de relación, $x^{2\varepsilon}=f(x)^2=f(y)^3=y^{3\varepsilon}$. Por el resultado acerca de automorfismos de a $G/Z(G)$, existen enteros $h,k$ y un elemento $z\in G$ tal que $f(x)=zx^{1+2h}z^{-1}$ $f(y)=zy^{s+3k}z^{-1}$ donde $s=\pm 1$. Desde $x$ $y$ tiene orden infinito, se deduce que el $\varepsilon=1+2h$$\varepsilon=s+3k$, lo $f(x)=zx^{\varepsilon}z^{-1}$$f(y)=zy^{\varepsilon}z^{-1}$.
Por lo tanto, el grupo de exterior automorfismos es generada por una $f:G\to G$ definido por $f(x)=x^{-1}$$f(y)=y^{-1}$.
Considere la posibilidad de una orientación de la preservación de homeomorphism $F:S^3\to S^3$ que lleva la $K$ $\overline{K}$(el reflejo de $K$), y deje $F':S^3\to S^3$ ser un reflejo, por lo $F'\circ F:S^3\to S^3$ porta $K$ a sí mismo. La composición lleva una longitud a longitud, pero invierte la orientación de un meridiano. También induce un automorphism $f:G\to G$. Componer $f$ con un interior de automorphism para que $z=1$ en la anterior notación.
Un sistema periférico de $K$ está dado por $\lambda=x^2$ para una longitud y $\mu=y^{-1}x$ para un meridiano. A continuación, $f(\lambda)=x^{\pm 2}$, y ya hemos afirmado $f$ envía una longitud a una longitud de la misma orientación, $f(\lambda)=\lambda$. Por lo tanto, $f(y)=y$$f(\mu)=\mu$, contradiciendo el hecho de que $f$ necesidades para invertir la orientación de $\mu$.
En Lickorish del libro, el ejercicio 11.10 es reproducir Dehn del argumento, sin embargo Lickorish no parece citar Dehn cuando describe la idea de que el grupo fundamental de la ley en el espacio hiperbólico, y él, en lugar de la cites Trotter para un resultado acerca de ciertos pretzel nudos no es equivalente a su invierte.
