Convertir una elipse rotada a elipse esquilado

Question

Dada una elipse centrada en el origen con los ejes mayor y menor y de la pendiente del eje mayor se especifican:

¿Cómo puedo convertir esos tres parámetros en los parámetros que expresan una escala y cizallamiento de la elipse en el origen?

Lo que necesito es la anchura y la altura de la verde paralelogramo y la pendiente de la línea azul cuando la línea roja está acostado.

Yo también podría estar interesado en las versiones con ángulos en lugar de laderas. Estoy asumiendo que es más fácil con pendientes, pero puedo estar equivocado.

(Sólo tengo tal vez la secundaria, el nivel de matemáticas, de modo que por favor, disculpe mi ignorancia de la terminología apropiada. Las imágenes no son mías, sólo "lo suficientemente cerca" que he encontrado en la red, los ángulos deben realidad coinciden. Espero que sean lo suficientemente claro.)

---

Propuesta de reformulación por @Azul.

Una rotación de la elipse puede ser interpretado como una (horizontal)procedente de la esquila de la elipse. Por ejemplo, "una elipse con radios $a$$b$, transformado por la rotación a través de ángulo de $\theta$" está tan bien descrito como "una elipse con radios $p$$q$, transformado por (horizontal) de cizalla de ángulo de $\phi$".

Quiero saber cómo convertir de un conjunto de parámetros para el otro. Es decir,

$$\text{Given $$, $b$, $\theta$, what are $p$, $p$, $\phi$?}$$

• Puede ser más fácil para expresar la cantidad de rotación y cortante como pistas en lugar de ángulos.
• Para la corte, me interesa más la altura de la delimitación paralelogramo ($q$ en la figura) no la transformada de radio ($q^\prime$). (Por supuesto, estos están relacionados por $q = q^\prime \sin\phi$.)

Answer 1

Recordemos que la forma estándar de una elipse centrada en el origen es $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,$$ where $un$ is half the length of the horizontal axis and $b$ half the vertical (so we only need $a, b > 0$ and there is no need to specify $a > b$). Upon counterclockwise rotation by an angle $\theta$ about the origin, that is to say, $$(x,y) \to (x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta),$$ this equation takes the form $$Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 1,$$ where $$\begin{align*} A &= \frac{\cos^2 \theta}{a^2} + \frac{\sin^2 \theta}{b^2}, \\ B &= \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) \sin 2\theta, \\ C &= \frac{\sin^2 \theta}{a^2} + \frac{\cos^2 \theta}{b^2}. \end{align*}$$

Ahora debería ser obvio que la intersección de la roja de diámetro con la elipse en su segunda figura es simplemente la solución a $Ax^2 = 1,$ es decir $$x = \pm \frac{1}{\sqrt{A}} = \pm \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}$$ de ahí el valor positivo es también la mitad de la longitud de la red diámetro.

El azul de diámetro en la segunda figura corresponde a la vertical extremos; por ejemplo, ¿cuál es el mayor posible en la elección de $y$ satisfacción $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 1$ para cualquier elección válida de $x$? Algunos pensaban que debería conducir a la conclusión de que esto ocurre precisamente cuando la cuadrática en $x$ $$Ax^2 + (By)x + (Cy^2 - 1) = 0$$ has a repeated root; i.e., the discriminant $$\Delta = (By)^2 - 4A(Cy^2 - 1) = 0.$$ Thus $$y = \pm \frac{2\sqrt{A}}{\sqrt{4AC - B^2}} = \pm \sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}.$$ and the vertical height of the green parallelogram is twice the positive value. The slope of the blue line (after some calculations) should be $$\frac{a^2 \tan \theta + b^2 \cot \theta}{a^2 - b^2},$$ la prueba de la cual se deja como ejercicio.

Te aconsejo que para verificar estos cálculos ya que no me he gastado el tiempo y el esfuerzo para hacerlo yo mismo.

Answer 2

Deje que los parámetros de entrada se $(a, b, \theta)$, que son, respectivamente, la longitud de mayores y menores del eje y el ángulo de rotación. Por supuesto, el primero es para girar la elipse a la "estándar" $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=4.$$

Deje que la nueva elipse toca el verde paralelogramo en$(\pm p/2, 0)$$\pm (q/2m, q/2)$. Aquí $p$ es el ancho (longitud de la línea roja), $q$ es la altura de la delimitación de paralelogramo y $m$ es la pendiente de la no-horizontal de la línea verde.

De hecho, sólo tenemos que encontrar una $2\times 2$ matriz$A$, de modo que $$A\begin{bmatrix} a/2 \\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p/2 \\ 0\end{bmatrix}, \ \ \ A\begin{bmatrix} 0\\ b/2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q/2m \\ q/2\end{bmatrix}.$$ Entonces el rectángulo de delimitación de la edad de la elipse será enviado en $A$ verde del paralelogramo, y el estándar de la elipse será enviado a la nueva, como se sugiere en el comentario.

Es fácil ver que

$$A = \begin{bmatrix} p/a & q/bm \\ 0 & q/b\end{bmatrix}.$$

Por lo tanto el $2\times 2$ matriz

$$\begin{bmatrix} p/a & q/bm \\ 0 & q/b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\-\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$$

va a enviar la elipse dada por $(a, b, \theta)$ a de la elipse dada por $(p,q,m)$.