Un estudiante de postgrado en física me preguntó si había una forma cerrada para la siguiente serie, que había sido encontrado como el segundo coeficiente del virial para un gas en un potencial exponencial: $$\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(k+1)^4 k!}$$ where $x < 0$. This is the generalized hypergeometric function $dimm_4 F_4(1, 1, 1, 1; 2, 2, 2, 2; x)$, por definición. Se mostraron escépticos de que podría ser simplificado, ya que ni la serie, ni de cualquiera de sus primeras derivados y antiderivatives es la serie de Taylor de una función que podemos reconocer. Incluso si no hay una verdadera forma cerrada, todavía estamos curioso si se tiene una fórmula con funciones especiales distintos de la hipergeométrica generalizada.
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jayunit100
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Nos marcan\begin{equation} S_q(x) := \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(k+1)^q k!} \end{equation} y $y=-x$.
Mediante representación integral de JackD'Azurio llegar:\begin{eqnarray} S_4(x) &=& -\frac{1}{3!}\left. \frac{d^3}{d \theta^3} \int\limits_0^1 e^{x y} y^\theta dy \right|_{\theta=0} \\ &=&-\frac{1}{3!} \left. \frac{d^3}{d \theta^3} \frac{\Gamma(1+\theta) - \Gamma(1+\theta,-x)}{(-x)^{1+\theta}} \right|_{\theta=0} \\ &=& \frac{4 \zeta(3)+2 \gamma^3+ \gamma \pi^2+(6 \gamma^2+\pi^2)\log(y)+6 \gamma \log(y)^2+2 \log(y)^3+12 {\mathfrak f}(y)}{12 y} \end{eqnarray} donde\begin{equation} {\mathfrak f}(y) := \int\limits_1^\infty \frac{e^{-y t}}{t} \frac{\log(t)^2}{2!} dt = G_{3,4}^{4,0}\left(y\left| \begin{array}{c} 1,1,1 \\ 0,0,0,0 \\ \end{matriz} \right.\right) \end{equation} donde la función anterior se expresa a través de la función G Meijer y $\gamma$ es constante de gamma de Euler.
