Grupo de Permutación como cociente del Grupo Libre

Question

Me gustaría que me ayudaran con la siguiente pregunta:

Dejemos que $S_{n}$ sea el grupo de permutación de $\left\{ 1,...,n\right\}$ ¿Cuál es el mínimo $k\in\mathbb{N}$ tal que $S_{n}$ es un cociente del grupo libre $F_{k}$ (grupo libre con k generadores).

¡Muchas gracias!

Answer 1

Claramente, $k>1$ (excepto para los valores pequeños de $n$ ?). ¿Puede ver cómo $S_n=\langle(1\, 2),(1\,2\,\ldots\,n)\rangle$ y por lo tanto $k\le 2$ ?