¿El mapa logístico tiene un atractor para un valor particular del parámetro?

Question

Antecedentes:

Actualmente estoy estudiando un curso de dinámica no lineal. Hemos estado estudiando acerca de la atractores sólo de manera intuitiva, así que no tengo una definición para un atractor. Déjame darte un par de ejemplos.

Considere la posibilidad de un problema en el que una pelota es meterse en un parabólica valle. Está claro de forma intuitiva y cuantitativamente que la parte inferior de punto de la parábola es el atractor.

Decir que estamos hablando de un sistema de Lorenz. No podemos adivinar intuitivamente que hay un atractor, a priori, pero el uso de simulaciones para diferentes valores de las condiciones iniciales, podemos cualitativamente (y tal vez cuantitativamente demasiado) comparar las trayectorias de diferentes condiciones iniciales y de convencernos a nosotros mismos de que tenemos un atractor.

Problema:

Considerar la logística mapa dado como

$$x_n = ax_{n-1}{(1-x_{n-1})}.$$

Debemos fijar un valor del parámetro cuando "sabemos" que la logística mapa de exposiciones caos. Decir $a=3.9$.

Tomemos la definición para el término atractor de Wikipedia:

Un atractor es un subconjunto $A$ del espacio de fase que se caracteriza por los siguientes tres condiciones:

• $A$ es invariante bajo $f$: si $a$ es un elemento de $A$ lo es $f(t,a)$, para todos los $t > 0$.
• Existe un entorno de a $A$, llama la cuenca de atracción para $A$ y denotado $B(A)$, que consta de todos los puntos de $b$ que "introduce $A$ en el límite de $t → ∞$". More formally, $B(A)$ is the set of all points $b$ en el espacio de fase con la siguiente propiedad: Para cualquier abierto vecindario $N$$A$, hay un positivo constante $T$ tal que $f(t,b) ∈ N$ para todos los verdaderos $t > T$.
• No es subconjunto de a $A$ tener las dos primeras propiedades.

¿Cómo podríamos demostrar/convencernos a nosotros mismos de/refutar la afirmación de que la logística mapa tiene un atractor para una elección particular del parámetro en la que el mapa exhibe el caos?

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es sí, la logística mapa definitivamente tiene un atractor. Para mostrar esto para mapas generales/sistemas dinámicos, se puede usar una numérico directo de estudio, profundizar en los argumentos analíticos que podrían no ser del todo completa, o una combinación de ambos.

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Un atractor es un conjunto en el espacio de fase del sistema dinámico o mapa, que atrae a una cierta porción de las trayectorias o de las órbitas (y no dejar ir). Las demás condiciones que mencionas son solo para eliminar cualquier tipo de arbitrariedad en la definición y algunos de los casos patológicos.

Para cualquier mapa, puede ver si tiene un atractor por dejar la órbita de inicio en puntos al azar, ejecutar un gran número de iteraciones y, a continuación, compruebe si las órbitas convergente a uno o más estable de las órbitas. Esto es exactamente cómo los diagramas de bifurcación se realizan y los puntos son los que tienen que encontrar su aleatorios órbitas después de un largo tiempo. Así que, en cierto sentido, diagramas de bifurcación son "atractor gráficos". Consulte el diagrama de bifurcación de la logística mapa:

En este gráfico, cada $r = r_0$ rebanada corresponde a un atractor en $r_0$. Se puede comprobar que para los pequeños $r$ los atractores es sólo un punto, a continuación, se duplica frecuencias en una cascada. Las posiciones de un número de estos puntos fijos y su duplicación puede ser encontrado de forma explícita, como se muestra en este MathWorld artículo sobre la logística del mapa. I. e., en algunos casos, incluso podemos encontrar el atractor analíticamente.

Para mayor $r$ el asunto es más delicado, se ha demostrado por Mitchel J. Feigenbaum en 1979, la cascada de bifurcaciones para dicho mapa se bifurca y, finalmente, crea un Cantor-como atractor. Podemos, por ejemplo, encontrar la dimensión fractal de este conjunto (Grassberger 1981), pero como lo que yo sé que en general no puede especificar la posición por medio de métodos analíticos. Sin embargo, el atractor definitivamente existe.

Answer 2

Los atractores en este caso la forma de una serie de $A_n$ tal que $A_n=\big\{x:f^n(x)=x, f^i(x)\neq x~\forall ~i<n,x\in \mathbb R\big\}$ donde $f(x)=3.9x(1-x)$. Uno puede ver fácilmente que estos satisface el primer criterio.

En cuanto al segundo criterio, esto no tiene que ser el caso. A partir de este¹ de papel (que específicamente se analiza una dimensión maps):

Deje $x^*$ un punto fijo de $f$. A continuación, la cuenca de atracción (o el conjunto estable) $W^s(x^*)$ se define como $$W^s(x^*)=\{x:\lim\limits_{n\to\infty}f^n(x)=x^*\}$$

Nota la falta del requisito de la cuenca a ser un barrio.

Si usted va un poco más allá, en la página de la Wikipedia, podemos ver:

Muchas otras definiciones de atractor se producen en la literatura. Por ejemplo, algunos autores requieren que un atractor tiene medida positiva (prevención de un punto de un atractor), otros relajar el requisito de que $B(A)$ ser un barrio

Con esto en mente, podemos hacer que satisfacer el segundo criterio.

Esto es bastante simple: nos encontramos con el conjunto de los números $B_n={x:f(x)=a_n ~\forall~ a_n \in A_n}$. Esto no tiene que ser el conjunto de la cuenca, sólo tenemos una parte para demostrar que $A_n$ es un atractor. Por supuesto, tenemos que demostrar que el $\exists b_n\in B_n$ que no es un elemento de $A_n$. Esto se puede hacer notar que $f(x)=a$ tiene 2 raíces $\forall~a\in(0,1)$. Dado que las raíces de $f(x)=a_n$ no se superponen para diferentes $a_n$ (de lo contrario el dos $a_n$'s sería igual), obtenemos $2n$ valores distintos para los que $f(x)\in A_n$. Desde $A_n$ sólo ha $n$ elementos, tenemos algunos números adicionales que pueden ser considerados para ser parte de la cuenca de atracción.

^{1. Elaydi, S., & Sacker, R. J. (2003). La cuenca de atracción de una dimensión de mapas.}