Matriz real sin valores propios reales conmuta con alguna matriz de cuadrado $-I$ .

Question

Dejemos que $A\in M_n(\mathbb R)$ sea tal que, el polinomio mínimo de $A$ no tiene ninguna raíz real. Demostrar que existe alguna $B\in M_n(\mathbb R)$ que: $B^2=-I_n$ y $AB=BA$ .

Supongamos que $p(x)=x^k+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_1+a_0$ sea el polinomio mínimo de $A$ . Por la hipótesis, $a_0\neq 0$ y sobre el anillo $\mathbb R[x]$ el polinomio $p(x)$ tiene la siguiente descomposición:

$$p(x)=(x^2+b_1x+b_2)^{d_1}(x^2+b_3x+b_4)^{d_2}...(x^2+b_mx+b_{m+1})^{ds}$$

Con $b_j\in \mathbb R$ para $j=1,2,...,m+1$ y $d_1+d_2+...+d_s=k$ .

Si demuestro que existe $q(x),h(x)\in \mathbb R[x]$ tal que:

$$(h(x))^2=p(x)q(x)-1$$

Entonces he terminado por poner $B=h(A)$ . Pero, ¿cómo puedo demostrar que $q$ ¿existe?

Answer 1

Primera observación: buscando un polinomio en $~A$ en lugar de sólo una matriz $B$ desplazamientos con $~A$ En este caso, usted exige más de lo que la pregunta plantea y, por lo tanto, dificulta el problema. Se puede organizar $B$ sea un polinomio en $~A$ pero es más fácil si no se tiene esta restricción.

Por el teorema de la descomposición primaria, el espacio se descompone como una suma directa de los subespacios aniquilados por los factores primarios $(T^2+b_iT+c)^{d_i}$ y si se puede encontrar un operador lineal adecuado $B_i$ en cada subespacio, se combinarán para definir $B$ en todo el espacio. Esto significa que se puede restringir al caso en que $p$ es una potencia de un único polinomio irreducible $q=x^2+bx+c$ . Además, se puede descomponer (no canónicamente) el espacio como una suma directa de módulos cíclicos, cada uno de los cuales se extiende como $\Bbb R[x]$ -por un único vector "cíclico", que es aniquilado por alguna potencia $(T^2+bT+c)^k$ .

El caso $k=1$ es fácil: ahora el subespacio cíclico es isomorfo como $~\Bbb R[x]$ -módulo a $\Bbb R[x]/(q)$ que es isomorfo a $~\Bbb C$ por lo que la acción de la multiplicación por $\mathbf i$ bajo esa correspondencia hará como $B$ . Concretamente se trata de un polinomio de grado $~1$ en $~T$ Completando el cuadrado $$q = x^2+bx+c = (x+s)^2+d^2 \qquad\text{with $ s= \frac b2 $ and $ d= \sqrt {c-s^2} $}$$ uno tiene para $B=\frac{T+sI}d$ que $B^2+I=0$ . (Esto habría funcionado sin descomponer en módulos cíclicos: el espacio seguiría siendo un módulo sobre $\Bbb R[x]/(q)\cong\Bbb C$ y el mismo $B$ funcionaría).

Ahora considere el general $k$ . Para un vector cíclico dado $v$ se ve que $v, q[T]v,q^2[T]v,~\ldots,~q^{k-1}[T]v$ junto con las imágenes de todos estos vectores por $T$ formar un $\Bbb R$ -del espacio. En el subespacio abarcado por $w_i=q^i[T]v$ y $Tw_i$ , elija otra base $w_i,w_i'=\frac{T+sI}dw_i$ y definir $B$ actuar por $Bw_i=w'_i$ y $Bw'_i=-w_i$ entonces claramente $B^2=-I$ y se comprueba fácilmente que $B$ se desplaza con $~T$ .

Este $B$ no es un polinomio en $~T$ el operador $\frac{T+sI}d$ actúa de forma diferente sobre los vectores $w'_i$ que $B$ lo hace. En efecto, $b=\frac{X+s}d$ sólo satisface $b^2\equiv1\pmod{q}$ mientras que uno necesita que esto se mantenga en el módulo $q^k$ . Esto se puede remediar con una técnica similar a Elevación de Hensel pero lo dejaré para que lo descubras tú mismo.