Integral de $\frac{ \sqrt{\cos 2 x}}{\sin x}$

Question

Estoy tratando de resolver la integral de $\frac{ \sqrt{\cos 2 x}}{\sin x}$. Convierte esto en $(\cot^2 x - 1)^{1/2}$ pero después de esto estoy atrapado. No puedo pensar en una sustitución adecuada. ¿Algún consejo?

Answer 1

Escriba $$I=\displaystyle\int \dfrac{\sqrt {\cos 2x}}{\sin x}=\displaystyle\int \dfrac{\sqrt {2\cos^2 x-1}}{\sin x}$ $

Y $\cos x=t$. Usted debe conseguir %#% $ #%

Ahora sustituye $$I=\displaystyle\int \dfrac{\sqrt{2t^2-1}}{t^2-1} dt$, para conseguir más $t=\dfrac{1}{u}$ $

Hacer una tercera sustitución $$I=\displaystyle\int \dfrac{\sqrt{2-u^2}}{u(u^2-1)} du$. Por lo tanto, $$ \begin{align} I &=\displaystyle\int\dfrac{z^2}{(z^2-1)(2-z^2)}dz \\ &=2\displaystyle\int \left(\dfrac{1}{2z^2-2}-\dfrac{1}{z^2-2}\right)dz \\ &=\sqrt 2 \tanh^{-1} {\left(\dfrac{z}{\sqrt 2}\right)}-\tanh^{-1}z+C. \end{alinee el} $$

Sustituir para obtener su respuesta.

Answer 2

$\bf{My\; Solution::}$ Dado $$\displaystyle \int\frac{\sqrt{\cos 2x}}{\sin x}dx = \int\frac{\sqrt{\cos^2 x-\sin^2 x}}{(\cos x+\sin x)-(\cos x-\sin x)}dx$ $

Tan Integral $$\displaystyle =\int \frac{\sqrt{(\cos x+\sin x)\cdot (\cos x-\sin x)}}{(\cos x+\sin x)-(\cos x-\sin x)}dx = \int\frac{\sqrt{\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}}}{\left(\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}\right)-1}dx$ $

Ahora podemos escribir %#% $ #%

tan Integral a convertir $$\displaystyle \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)$ $

Ahora que $$\displaystyle \int \frac{\sqrt{\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}}{\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-1}dy$$$\displaystyle \left(\frac{\pi}{4}+x\right)=y\;,$ dx = dy$

Manera Integral convertir en $ Then $$$\displaystyle \int\frac{\sqrt{\tan y}}{\tan y-1}dy\;,$$ Now Let $$\displaystyle \tan y=t^2\;,$\sec^2 y dy = 2tdt$

Tan Integral convierten en $ Then $ $

Tan Integral $$\displaystyle \int \frac{2t^2}{(t^2-1)\cdot (t^4+1)}dt = \int \left[\frac{(t^4+1)-(t^2-1)^2}{(t^4+1)\cdot (t^2-1)}\right]dt$ $ $$\displaystyle = \int\frac{1}{t^2-1}dt-\int\frac{t^2-1}{t^4+1}dt = -\frac{1}{2}\ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|-\int\frac{\left(1-\frac{1}{t^2}\right)}{\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}dt$ $